命题I.40

等底并在同一边的面积相等的三角形，顶点的连线与底边平行。

设：ABC、CDΕ是面积相等的三角形，并有相等底边BC和CΕ，且在同一侧。

求证：两三角形顶点的连线与底边平行。

连接AD，那么：AD平行于BΕ。

如果不是，令：过A作AF平行于BΕ（命题I.31），再连接FΕ。

于是：三角形ABC等于三角形FCΕ的面积。因为，它们在相等底边BC、CΕ上，且在相同平行线BΕ、AF之间（命题I.38）。

又，三角形ABC等于三角形DCΕ的面积，所以：三角形DCΕ也等于三角形FCΕ的面积，大等于小。这是不可能的。所以：AF不平行于BΕ。

类似地，可以证明，除了AD以外的任何线段也不可能平行于BΕ，所以：AD平行于BΕ。

所以：等底并在同一边的面积相等的三角形，顶点的连线与底边平行。

证完

四柱式庭院

英国数学家罗素说过“数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美”。他所说的是一种形式高度抽象的美，即逻辑形式与结构的完美。这种以简单结构以及逻辑形式完美为目标的追求，使数学成为人类艺术发展的文化激素。数学对艺术的影响遍及绘画、音乐、建筑、文学等各个方面，仅就建筑而言，就涉及对称、黄金分割、各种曲线和曲面等。图中的四柱式庭院就是一个简单却极富表现力的木制品，它展现了以数学为基础的构成要素。

注解

本命题不同于本卷中的其他命题，在《原本》中再也没有被应用过。