1.4 二进制算数运算

1.4.1 二进制算术运算的特点

二进制数的加、减、乘、除四则运算，在数字系统中是经常遇到的，它们的运算规则与十进制数很相似。加法运算是最基本的一种运算。在计算机中，引入补码表示后，加上一些控制逻辑，利用加法就可以实现二进制的减法、乘法和除法运算。

1.二进制的加法运算

二进制加法运算法则：0+0＝0；0+1＝1+0＝1；1+1＝10（逢2进1）。

【例1-1】求(1011011)2+(1010.11)2

则

(1011011)2+(1010.11)2＝(1100101.11)2

2.二进制数的减法运算

二进制减法运算法则为：0-0＝1-1＝0；0-1＝1（借1当2）；1-0＝1。

【例1-2】求(1010110)2-(1101.11)2

则

(1010110)2-(1101.11)2＝(1001000.01)2

3.二进制数的乘法运算

二进制乘法运算法则为：0×0＝0；0×1＝1×0＝0；1×1＝1。

【例1-3】求(1011.01)2×(101)2

则

(1011.01)2×(101)2＝(111000.01)2

可见，二进制乘法运算可归结为“移位与加法”。

4.二进制数的除法运算

二进制除法运算法则为：0÷0＝0；0÷1＝0；1÷1＝1。

【例1-4】求(100100.01)2÷(101)2＝?

则

(100100.01)2÷(101)2＝(111.01)2

可见，二进制除法运算可归结为“减法与移位”。

1.4.2 原码、反码、补码和补码运算

1.原码

正数的符号位为0，负数的符号位为1，其他位按照一般的方法数的绝对值来表示就构成了原码。

【例1-5】求当机器字长为8位二进制数的原码。

X＝+1011011　　 Y＝-1011011

解：

[X]原码＝01011011　 [Y]原码＝11011011

2.反码

对于有效数字（不包括符号位）为n位的二进制数N的反码（N）INV是这样定义的

具体来说，对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。

【例1-6】求机器字长为8位二进制数的反码。

X＝+1011011 Y＝-1011011

解：

[X]原码＝01011011 [X]反码＝01011011

[Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100

负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。

3.补码

引入补码以后，计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算，其符号位也参与运算。为了说明补码运算的原理，我们先来讨论一个生活中常见的事例。例如，你在 6 点钟的时候发观自己的手表停在9点上了，因而必须把表针拨回到6点。由图1-3可以看出，这时有两种拨法：第一种拨法是往回拨3格，9-3=6，拨回到了6点；另一种拨法是往前拨9格，9+9 =18。由于表盘的最大数只有12，超过 12以后的“进位”将自动消失，于是就只剩下减去 12 以后的余数了，即18-12=6，也将表针拨回到了6点。这个例子说明，9-3 的减法运算可以用9+9的加法运算代替。因为3和9相加正好等于产生进位的模数12，所以我们称9为-3对模12的补数，也称为补码（Complement）。

从这个例子中可以得出一个结论，就是在舍弃进位的条件下，减去某个数可以用加上它的补码来代替。这个结论同样适用于二进制数的运算。一个 4 位二进制数的模为 16。例如：0111(7)是-1001(9)对模16的补码。

基于上述原理，对于有效数字（不包括符号位）为n位的二进制数N，它的补码(N)COMP表示方法为

由式1-7可知，正数（当符号位为0时）的补码与原码相同，负数（当符号位为1时）的补码等于(N)INV+1=2n−N，即负数的补码为其反码加1。

【例1-7】写出二进制数的补码：（1）X＝+1011011（2）Y＝-1011011。

解：（1）根据定义有：[X]原码＝01011011 [X]补码＝01011011

（2）根据定义有：[Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100

　　　　　　　　[Y]补码＝10100101

补码表示的整数范围是−2n−1～2n−1−1，其中n为机器字长 8。位二进制补码表示的整数范围是-128～+127（-128 表示为10000000，无对应的原码和反码）。16 位二进制补码表示的整数范围是-32768～+32767。当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。

4.补码加、减运算规则

（1）运算规则

[X+Y]补=[X]补+[Y]补

[X-Y]补=[X]补+[-Y]补

（2）溢出判断，一般用双符号位进行判断

符号位00表示正数；11表示负数；结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢。

【例1-8】设x=+1101，y=-0111，符号位为双符号位用补码求x+y，x-y。

解：

[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110

[x-y]补=[x]补+[-y]补=00 1101+00 0111=01 0100。

上溢出，结果错误。