2.1.2 局部坐标系和同次变换矩阵

现在转动机器人的肩部，来分析手指的位置p_h会发生怎样的变化。从图2.3a中Σ_W的视角看，机器人的左肩位置为p_a，机器人的肩膀到指尖的向量为r。从图2.3中可以得出

p_h=p_a+r

由图2.3b可知，如果将手臂张开状态下从肩膀指向指尖的向量设为r′，则指尖位置为

肩部的位置p_a保持不变，通过向量r向r′的旋转可以实现手指尖的运动。

现在考虑固定在手臂（肩膀）上的局部坐标系Σ_a。与固定在地面上的世界坐标系不同，局部坐标系是根据机器人的运动而改变位置和姿态的“可移动坐标系”。

Σ_a是根据肩膀上设定的原点和x、y、z轴的单位向量组成。三个单位向量e_ax，e_ay，e_az在手臂放下的初期姿态与Σ_W平行（见图2.3a）。一旦机器人手臂抬起，Σ_a就会以e_ax轴为中心旋转，旋转角度为ϕ（见图2.3b）。

手臂的旋转角度ϕ和Σ_a的关系如下所示。

因为是围绕x轴的旋转，所以只有e_ay、e_az发生变化。将三个向量汇总后的3×3矩阵R_a定义如下。

使用矩阵R_a，图2.3中的r和r′的关系可以用下式表示。

也就是说，乘以矩阵R_a，向量会旋转。关于这一点将在后面详细说明（2.2节）。

将以局部坐标系Σ_a为基准点看指尖的位置设为^ap_h。左上角的附带字a表示以Σ_a为基准点。

在图2.3中，Σ_a和整个左臂作为一个整体进行旋转，^ap_h是不变的。

表示左手臂手指尖的位置的方法如下：

• 从世界坐标系Σ_W的视角看手指尖位置p_h。

• 从局部坐标系Σ_a的视角看手指尖位置^ap_h。

基于这些关系，式（2.1）、式（2.4）、式（2.5）可以表达为

式（2.6）还有如下的表达方式。

这里为了使矩阵计算前后一致，使结果与式（2.6）相同，适当地在向量和矩阵中追加了0和1。右边出现的4×4矩阵将手臂的位置和（p_a，R_a）整合在一起。这里可以写为

这样的矩阵称为同次变换矩阵^[2]。同次变换矩阵T_a将手臂的局部坐标系表示的点的坐标变换到世界坐标系。

左臂上的任意点都对应着一个^ap，所以手臂的位置和姿态的信息包含在同次变换矩阵T_a中。也就是说，可以认为同次变换矩阵本身表示手臂的位置和姿态。