1.3.3 有效数字

有效数字是近似数的一种表示方法，它不但能表示近似数的大小，而且不用计算近似数的绝对误差和相对误差，直接由组成近似数数字个数就能表示其精度。

定义1-5 设数x的近似值x*=0.x₁x₂…x_n…×10m，其中x_i为0～9之间的任意数，但x₁≠0；i=1,2,3,…；m为整数。若

则称x*为x的具有n位有效数字的近似值，x*准确到第n位，x₁x₂…x_n是x*的有效数字。

这里x*的位数可以是无限多位，也可以是有限位，如有n位，数值计算中得到的近似数常常是有限位的。

例1-5 以作为圆周率π的近似值，有几位有效数字？

解 由

因为m-n=2，题中已知m=1，所以有n=3，即作为π的近似值有3位有效数字。

例1-6 取3.142和3.141作为圆周率π的近似值各有几位有效数字？

解 π=3.141592…，当取3.142作为其近似值时

即m-n=-3，m=1，n=4，所以3.142作为π的近似值有4位有效数字。

当取3.141作为π的近似值时

即m-n=-2,m=1,n=3，所以3.141作为π的近似值时有3位有效数字，不具有4位有效数字，3.14是有效数字，千分位的1不是有效数字。

由定义1-5可以看出，如果近似数x*的误差限是某一位的半个单位，由该位到x*的第一位非零数字一共有n位，x*就有n位有效数字，也就是说准确到该位。

四舍五入得到的近似数的绝对误差限ε*是其末位的半个单位，即

那么用四舍五入得到的近似数就全是有效数字，即有n位有效数字。例如四舍五入得到的近似数

0.23，23，23.00

分别有2位、2位和4位有效数字。

同样若用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值x*，则x*有n位有效数字，其中每一位数字都是x*的有效数字。例如取

3.14，3.1416

作为圆周率π的近似值，分别有3位和5位有效数字。3.142是π四舍五入得到的近似值，有4位有效数字，3.141不是π四舍五入得到的近似值，不具有4位有效数字，这和例1-6的结论是一致的。

如果x*准确到某位数字，将这位以后的数字进行四舍五入则不一定能得到有效数字。例如3.145作为π的近似值准确到百分位，将其四舍五入得到3.15，则其最后一位不是有效数字，3.15作为π的近似值只有两位有效数字。

在数值计算中约定，原始数据都用有效数字表示。凡是不标明绝对误差限的近似数都认为是有效数。这样就可以从一个近似数的表示式中知道其绝对误差限或精度，一般来说，有效数字位数多的近似数准确度高。

关于有效数字还可指出以下几点：

1）若用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值，则x*必有n个有效数字。

例如，π=3.1415926…，取3.14作为近似值，则有3位有效数字，取3.142作为近似值，则有4位有效数字。

2）有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。

例如，设=12345，=12.345二者均有5位有效数字，前者的绝对误差为×1，后者的绝对误差为×10-3。

3）把任何数乘以10p（p=0,±1，±2，…）等于移动该数的小数点，这样并不影响其有效数字的位数。

例如，g=9.80m/s2具有3位有效数字，而g=0.00980×103m/s2也具有3位有效数字。但9.8m/s2与9.80m/s2的有效数字位数是不同的，前者有两位，后者有3位。因此，要注意诸如0.1，0.10，0.100，…的不同含义。

如果整数并非全是有效数字，则可用浮点数表示。如已知近似数300000的绝对误差限不超过500，即，则应把它表示成x*=300×103或0.300×106。若记为x*=300000，则表示其误差限不超过。这是因为

即m=6，n=3，而

300000=106×（3×10-1+0×10-2+…+0×10-6）

且

即m=6，n=6。

前者有3位有效数字，后者有6位有效数字。

例1-7 某地粮食产量为875万吨，表示成

875万吨=875×104吨=0.875×107吨

绝对误差为×104或×10-3×107，即万吨。而875万吨不能表示成8750000吨，因为这时绝对误差为吨。

有效数字位数与小数点后有多少位无关。但是具有n位有效数字的近似数x*，其绝对误差限，在m相同的情况下，n越大则ε*越小。所以一般来说，近似同一真值的近似数的有效数字位数越多，绝对误差越小。

4）准确值被认为具有无穷多位有效数字。

例如，直角三角形面积=0.5ah，其中a是底边，h是高，不能认为公式中用0.5表示时，只有一位有效数字。因为0.5是真值，没有误差，ε*=0，因此n→+∞，所以准确值具有无穷多位有效数字。至于底边a和高h是测量得到的，因此是近似数，应根据测量仪器精度来确定其有效数字的位数。