![基于变分法的细胞演化建模](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/598/44569598/b_44569598.jpg)
3.2.1 去噪:基于闭开运算的各向异性扩散模型
这里介绍利用中值曲率驱动方程模型与闭开算子结合的滤波方法.中值曲率驱动方程模型可以通过如下偏微分方程的初值问题[40]描述:
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式中,梯度▽u={ux, uy};曲率curv (u)=curv[u(t, x, y)],为区域Ω上图像灰度值u的曲率
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P60_21642.jpg?sign=1738882516-VszLPAvEXthUaEGBbWRemMB0yAmjOjRu-0-db068549cd154980333a2a78331dce47)
系数c=c(t, x, y)为传导(导热)系数函数.当c=1时,式(3-1)就是通常所指的中值曲率驱动方程模型.它可以理解为在扩散速度为常数的情况下,以平均曲率沿法线方向进行的扩散.它在扩散过程中,保持沿与梯度方向垂直的方向扩散,但它的扩散速度为常数.这样当扩散进行到边界时就容易模糊边界,且在噪声点处,图像的梯度可能非常大,使得平滑系数相对较小,从而将这些噪声点保留下来,降低了去噪性能.
因闭开算子在识别边界时不去除高频信息,从而能够保留图像大部分有用的信息,而且不产生灰度尺度偏移,所以这里引入形态学算子中的闭开算子运算,它可在某种程度上保留高频数据.
基本的灰度值形态学算子可分为腐蚀算子和膨胀算子.对于R2中一个有界参考集合B(通常是圆盘或者方形区域),集合S⊂R2的一个δ-膨胀为
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P60_21644.jpg?sign=1738882516-apcdWlZGUAJyIqx5V1BlRAtQ0VxeYSkj-0-375bb50069ce1f941638172a939c52ac)
一个δ-腐蚀为
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P60_21646.jpg?sign=1738882516-McHBA8hhX8XJ5hPvBldiy72Hz8ZHMnE5-0-397acb85bb9e27355ccd1fba900b5bef)
式中,x=(x, y),x1=(x1,y1),x-x1=(x-x1,y-y1),δB={δx1:x1∈B}.这里的参考集合B要求是一个中点在原点的对称凸集合.
图像灰度值函数u的δ-膨胀变换为
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P61_21649.jpg?sign=1738882516-PBRtJ16MUbhkY5kuDbVsRVOTs7nj80Ym-0-08c1fbabe4e252227558f18a3b3fa231)
一个δ-腐蚀变换为
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P61_21650.jpg?sign=1738882516-SFwSWxvgKNscZuCPHpv2E5PHUHGhM8NA-0-a09d475c0e696741b6dfb3987fe55b0c)
这两个记号对于集合和函数的膨胀(或腐蚀)不易引起混淆,只要注意其作用的对象即可.以下引入开、闭运算:
定义3.1 闭运算Closedδ:先做膨胀运算,后做腐蚀运算
Closedδ=Dδ◦Eδ
开运算Openδ:先做腐蚀运算,后做膨胀运算,即
Openδ=Eδ◦Dδ
这里结合中值曲率驱动方程模型和闭开运算,以达到噪声去除的目的.具体地,取c≡1,并结合
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P61_21655.jpg?sign=1738882516-0u0XImRRvETsGWhAVSXykEW4nr9kD8fV-0-7a5b902cea5c04bffbb6e89d1a8d26c7)
则式(3-1)便成为
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P61_21656.jpg?sign=1738882516-VYrWFHz4o37X5Qy6CMqf3LhKZPLpSihn-0-09854afe69bb57f523d90d263a5762d0)
噪声去除流程如图3-3所示.
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P61_2893.jpg?sign=1738882516-eNOFOCHKOQqGsx4TtNUckSgzVX9XmJBY-0-7f77c1dfc8909a4c255e9278b789f695)
图3-3 噪声去除流程
离散化和算例:对于矩形区域[0, l1]×[0, l2],考虑时间变化0→t,引入差分运算.取t=nΔt(n=0, 1, 2, …), x=ih(i=0, 1, 2, …, I), y=jh(i=0, 1, 2, …, L),(式中,I和L为正整数)使得Ih=l1, Lh=l2,而h是空间步长.计算时采用中心差分格式,取h=1, Δt=0.1,记
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P62_21657.jpg?sign=1738882516-M8yC3ZODVu643zQsGSX6feygJaCyX9yI-0-83626021a43b444091cd045dde6308cb)
将式(3-7)代入式(3-6),并记式(3-6)右端的驱动项为
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P62_21659.jpg?sign=1738882516-mwCSn2c7fq2tWvgVI0cEoxLvSsfzAShj-0-5f03870312eb63f9e36e7b1922965690)
得到其离散形式
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P62_21660.jpg?sign=1738882516-QZtAlCdaiPuRGMwLFUIQ8Pkq1k6YDTao-0-b75602b8504b628594f97a0d4bb51c88)
计算迭代格式
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P62_21661.jpg?sign=1738882516-Fnsn2GUqWT6fGPwXZRaebghB89bUwIjR-0-868de09195acb96290956cbac5226e2b)
交叉闭(开)算子运算
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P62_21662.jpg?sign=1738882516-mtZ2tzghGfxGaN4lmZk5hSw90GKh88Wd-0-1d3911f26f10509cb3712915c087ae59)
式中为初始迭代,即初始图像.闭(开)运算Closed (Open)中的运算尺度δ视具体图像确定,实际上就是膨胀或腐蚀所跨越的像素值大小.
如图3-4所示为具体实验算例[39],从图的梯度保存可见运算在保存特征的同时达到了噪声去除目的.如图3-4(a)所示为原图灰度等高线,如图3-4(b)所示为MCM结合开闭运算后的效果,如图3-4(c)所示为MCM结合闭开运算后的效果.
![](https://epubservercos.yuewen.com/6AAF8D/23765677509651406/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P63_2966.jpg?sign=1738882516-FsoOiBJD8v3KEj0S17kDLwlsde89qPMl-0-afd8eabbadd3867a9876636ac3ff2d74)
图3-4 形态学算子作用效果比较
(a)原图灰度等高线;(b)MCM结合开闭运算后的效果;(c)MCM结合闭开运算后的效果