2.2.2　线性映射

在2.2.1节中解释函数的时候，曾经说它是非空集合之间的对应法则，诸如等，都是这句话的具体表现形式。这是用集合论的观点看待函数，还可以称之为映射。

定义　设两个非空集合与间存在着对应关系，而且对于中的每一个元素，中总有唯一的一个元素与之对应，这种对应称为从到的映射（map），记作。

其中，称为元素在映射下的像，称为关于映射的原像。

上面的定义，可以用图2-2-3直观地表示。

例如，有向量，经过映射，得到了向量，并且所有输入向量和输出向量各自形成一个集合。这个映射，可以用类似于函数的形式写成：

之所以能够如此表示，是因为函数本质上也是一种映射，只不过在线性代数之前的函数，多数是的映射，现在，将它推广到了的映射。表2-2-1列出了初等代数中函数概念向线性代数中映射的推广。

表2-2-1中有些关于矩阵的概念会在后续内容中逐一介绍。

因为映射是函数的推广，并且形式雷同，我们就大胆地根据第2章2.2.1节对线性函数的定义来操作（2.2.3）式，看看结果如何。

由上述计算结果不难得知：（2.2.3）式居然符合前述线性函数的规定，只是我们这里说的是映射，所以就称之为线性映射（Linear Map）。

定义　设和是实数域上的两个向量空间，到的一个映射T如果具有加法和数量乘法运算，即：

则称是到的一个线性映射。

继续考查（2.2.3）式，可以将它写成：

由此，我们可以看到，如果一个线性映射的输入是向量，并将这个线性映射用矩阵表示，那么，用矩阵乘以输入向量（）就得到了此线性映射的输出。这个过程可以记作：。也就是现在我们发现，可以用矩阵表示线性映射。

但是，还要谨慎地考查，如果用矩阵表示了线性映射，是否还符合前述线性映射定义中的加法和数量乘法封闭的要求？

容易验证：

依然符合线性映射定义。

再比如线性映射，用矩阵表示，可以写成：

如果三维向量空间中的向量是，那么经过线性映射之后，，就得到了二维向量空间中的一个向量（如图2-2-4所示），用符号表示为：。

第1章1.3.2节中的坐标变换公式（），表示的是在同一个向量空间中，某个向量在不同基下坐标之间的关系。现在用线性映射的概念来理解此公式，即向量在同一向量空间不同基下的映射。

例如：二维向量空间中的向量，在映射下：

对上面的计算过程，可以有两种理解方式：

●　按照坐标变换的思路，可以理解为将向量在标准基下的坐标变换为另外一个基下的坐标。这是第1章1.3.2节已经阐述过的。

●　如图2-2-5所示，标准基构建的坐标系中，向量经过映射变换为向量，即相对轴的对称变换。

第一种理解从基的角度，向量“客观不变”，变换的是在不同基下的坐标——正所谓“横看成岭侧成峰”；第二种理解则认为坐标系固定，因映射而使向量变换——正所谓“物换星移几度秋”。二者殊途同归。

在前面的几个示例中，有的线性映射发生在不同向量空间，有的则发生在同一个向量空间内。对于在同一向量空间发生的线性映射，常称为线性变换（注意：“线性映射”和“线性变换”这两个术语，不同作者有不同的理解。有的认为线性映射是不同向量空间之间的映射，线性变换是同一向量空间内的映射；有的认为两个术语是同义语，可以互换。本书在行文中采用前一种说法）。