1.2.5　分块矩阵

在利用计算机进行矩阵运算时，若矩阵的阶数超过计算机的存储容量，就需要利用矩阵的分块技术将大矩阵化为一系列小矩阵后再进行运算。

定义1-16　用若干条贯穿整个矩阵的横线与纵线将矩阵划分为许多个小矩阵，称这些小矩阵为的子块，形式上以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。

例如：对于矩阵，若记

那么形式上以子块,,,,,为元素的分块矩阵可以表示为

矩阵分块的方法很多，上述也可以分块为

特别地，还可以按行或按列来分块：

虽然矩阵分块是任意的，但可以发现分块矩阵同行上的子块具有相同的“行数”，同列上的子块具有相同的“列数”。选取哪种方式分块，主要取决于解决问题的需要和矩阵自身的特点。

分块矩阵满足下列运算规律。

（1）加法：设与为同型矩阵，且采用相同的分块方法，即

其中，与的行数、列数对应相等，则

（2）数乘：设分块矩阵，为数，则

（3）乘法：设是矩阵，是矩阵，分别分块为

其中，的列的分法与的行的分法一致，即子块的列数分别等于的行数，则

其中，

（4）转置：设，则。

注意：分块矩阵转置时，不仅整个矩阵要转置，而且其中每个子块也要转置。

例1-13　设，，求。

解法1：直接用矩阵乘法。

解法2：如下所示，将与分成分块矩阵。

则

因为

所以

定义1-17　设为阶方阵，若的分块矩阵在主对角线上的子块均为方阵，且主对角线以外的子块均为零矩阵，即

其中是方阵，则称为分块对角矩阵，也可简记为。

容易发现，分块对角矩阵是对角矩阵概念的推广，因为当分块对角矩阵对角线上的子块是一阶方阵时，它就成为对角矩阵了。

分块对角矩阵不仅满足一般对角矩阵的运算规律，而且满足下列运算规律：

（1）；

（2）若，即有逆矩阵，则，且的逆矩阵为

（3）设和均为分块对角矩阵，其中是同型子块，则

例1-14　设，求：（1）；（2）；（3）。

解：将矩阵分块为

其中，。

（1），，于是。

（2），，于是

（3），，于是。