2.2　四面固支压电薄板结构状态空间模型的建立

2.2.1　四面固支压电板结构动力学方程分析

本书的主要研究对象是如图2.2所示的四面固支的压电薄板结构，且压电片粘贴在基体板结构表面。为了分析的方便，定义坐标原点在板的中心，x、y轴分别表示长度和宽度方向，且在中性面内，z轴沿厚度方向，并给出如下假设条件。

条件1　压电陶瓷PZT的极化方向沿着z轴。

条件2　假设压电驱动器和传感器与板的粘贴是完美的，没有相对移动。

条件3　假设压电片对板结构中性面位置的影响很小，在建立运动方程和分析时仍然认为压电板结构的中性面与基体板结构的中性面保持一致。

条件4　不考虑板结构变形时对压电驱动器的压电效应，只考虑驱动器对板的逆压电效应；不考虑压电传感器对梁的逆压电效应，仅考虑板变形对传感器的压电效应。

条件5　不考虑板其他方向的移动，仅考虑板厚度z方向的振动，其位移用w表示。

为了方便理论推导，首先给出如下定义：

定义2.1　板结构的长度为Lb，宽度为Wb，厚度为Hb，压电片长度为lp，宽度为wp，厚度为hp。则粘贴在基体板结构上表面压电片两侧的坐标为

z1=Hb/2，z2=Hb/2+hp=ht/2

(2.13)

式中：ht相当于在基体板的上下表面都粘贴了压电片后的压电板的总厚度，则对应的压电板结构的下表面的坐标为-z1和-z2。

2.2.2　模态分析法

模态分析技术是广泛应用于机械、结构振动等工程系统不可或缺的分析工具。本章首先应用此法来建立结构振动的状态空间模型。考虑到四面固支板的固有模态难以求取其封闭形式的解析解，由振动理论的叠加原理可知，一个动力学系统的运动可以由其主振型的线性组合来描述。对于图2.2的压电板结构，基于弹性薄板动力学理论，板的振动满足如下动力学方程：

(2.14)

式中：m（x，y）=ρA为板的质量密度函数；ρ为密度函数；A为截面面积；F（x，y）为外界激励力。为简单方便，研究压电板仅粘贴一对压电传感驱动器/驱动器，则密度ρ可以表示成

(2.15)

式中：ρb和ρp分别为板和压电陶瓷的密度。为了进一步获取密度ρ的详细的表示，引入如下狄拉克函数H（·）：

(2.16)

利用狄拉克函数分别对x，y，z三个方向作如下定义：

H(x-lp,x-lp-Lb)=H(x-lp)-H(x-lp-Lb)

H(y-wp,y-wp-Wb)=H(y-wp)-H(y-wp-Wb)

H(z-hp,z-hp-Hb)=H(z-hp)-H(z-hp-Hb)

(2.17)

则密度函数可表示为

ρ(x,y,z)=ρbH(z+z1,z-z1)+ρpH(x-lp,x-lp-Lb)　　　

　　　　·H(y-wp,y-wp-Wp)·H(z-hp,z-hp-Hb)

(2.18)

另外，式（2.14）中，Mx、My和Mxy表示弯矩，具体表达形式如下所示：

(2.19)

参照假设2.1，电场强度E和应力T满足如下条件：

E1=E2=0,　T3=T4=T5=0

(2.20)

将式（2.20）代入到压电方程（2.12），则第一类压电方程可被简化为

(2.21)

从式（2.21）中可以求解出应变S和外界电场E为自变量，应力T和电位移D为因变量的关系式为

(2.22)

其中，系数cij和eij（i，j=1，2，…，6）通过求解式（2.21）可以获取。另外，应变可以表示成如下方程：

(2.23)

将式（2.23）首先代入（2.22），再分别将式（2.22）的各个应力T1，T2和T6表达式分别代入力矩表达式（2.19），可得

(2.24)

(2.25)

(2.26)

式中：为压电片在外电场作用下产生的力矩，将式（2.24）～式（2.26）代入动力学方程（2.14），就可以获取完整的压电板结构动力学方程。进一步为了描述的方便，假设运动方程（2.14）没有外力的作用，即F（x，y）=0，所以四面固支压电板的厚度方向的位移可以表示为

(2.27)

式中：φij（x，y）和ηij（t）分别为固支板的模态函数和模态坐标。为了给出后面压电传感器的模态输出，给出振型正交性的概念。

定义2.2　振型的正交性：对于不同结构固有频率的振型函数之间，关于质量矩阵、刚度矩阵都分别相互正交。

将式（2.27）代入到动力学方程（2.14），并利用振型的正交性理论，且进一步简化为如下：

(2.28)

式中：ωi和ζi分别为第i阶模态的固有角频率和阻尼，这里fei（t）为经过变化以后的外界模态激励力，fci（t）表示压电片产生的控制力作用。

2.2.3　有限元分析

为了充分考虑压电片对压电板结构的固有特性的影响，本书也建立了压电板结构的有限元动力学方程，为了描述的方便采用比较常用的四节点法来描述图2.2所示的四面固支薄板单元，其中单元的边长为2a×2b，每个节点有挠度w、绕x轴的转角θx和绕y轴的转角θy 3个位移分量，其方向符合右手螺旋法则。单元的节点位移阵列为

(2.29)

其中

(2.30)

为了方便起见，引入无因次坐标κ、υ如下：

κ=x/a、υ=y/b

参照文献[185]，取单元挠度函数w（x，y）为如下近似多项式为

w(x,y)=α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy+α6y2+α7x3+α8x2y+α9xy2+α10y3+α11x3y+α12xy3

(2.31)

将式（2.31）采用无因次坐标表示，并将4个节点的挠度及其导数值代入，通过求逆可以确定挠度函数中的待定系数α1，…，α12，整理后可以得到单元节点位移及插值函数表示的挠度函数为

(2.32)

其中

而且

(2.33)

根据薄板振动的应变关系

(2.34)

将挠度函数（2.29）代入式（2.34），可知子几何矩阵Bi满足如下条件：

(2.35)

根据薄板振动的有效单元的动力学方程如下：

(2.36)

其中质量矩阵

(2.37)

(2.38)

(2.39)

式中：ρb和ρp分别为板和压电陶瓷的密度，为了更进一步地获取结构质量矩阵，为了分析方便，研究压电板粘贴一对压电驱动器/传感器的情况，则定义密度ρ可以表示成

(2.40)

另外，刚度矩阵如下：

(2.41)

(2.42)

(2.43)

式中：Db、Dp分别为有限单元部分的薄板弯曲弹性矩阵，结合定义2.1，Db和Dp如下所示：

作用力主要包含两个部分，一部分是外界激励力另外就是压电片的作用力

(2.44)

(2.45)

其中fb表示面积Ωb的集中外力的作用函数，为了描述压电元件的作用力，首先单元电势采用电势形状函数矩阵与节点值来确定[126]

(2.46)

假设图2.2所示的对称压电片P1为驱动器，P2为传感器，则根据假设条件4忽略压电片的二次逆压电效应，则传感压电片对板结构的外力作用在这里不予考虑，则

(2.47)

ε为压电陶瓷的介电常数矩阵。

在结构动力响应分析中，阻尼是必须考虑的一个重要因素，然而，阻尼的激励却很复杂，它既与周围介质的相互作用相关，也与结构自身因素有关。在实际分析中，阻尼很难精确地确定，本节采用工程问题中经常运用的质量矩阵和刚度矩阵线性组合的一种比例阻尼的方式，即

C=αM+βK

(2.48)

其中，αM和βK把阻尼分别与节点速度和应变速度联系起来，α和β表示比例常数，为了清楚地阐述阻尼矩阵，同样利用定义2.2振型正交性的内涵。实际上，按照上述模态振型的正交性原理，并不需要知道比例系数确切的数值，而只要知道各阶模态的阻尼比。分别将式（2.23）、式（2.41）、式（2.44）和式（2.48）代入动力学方程（2.36），就可以获取完整的压电板结构动力学方程。

2.2.4　状态方程表达式

1.利用模态分析法建立系统的状态空间模型

为了获得压电板结构的状态空间方程，适当忽略高阶模态，结构的运动可以用前n阶模态来表示，这里采用模态位移和速度作为系统的状态变量，则引入如下状态向量：

则系统的状态控制形式为

(2.49)

式中：Y（t）为压电元器件的输出电压；u（t）为输入控制电压；矩阵A、B和C分别为系统的状态、控制和输出矩阵。建立状态空间模型时，一般要考虑系统的输入输出情况，本书的实验部分只采用压电片和加速度计来测量结构振动，则主要分为如下两种情况建立结构振动的状态方程。

（1）压电片作为传感器的情况。在实际的结构振动主动控制实验中，尤其是对大型薄板结构的振动控制，由于压电片的尺寸远远小于板结构的尺寸，所以在采用压电片作为传感器时，可以认定它是测量的某一个点或者某些点的振动位移。为了与前面分析的一致性，这里仅仅考虑一对压电片作为驱动器/传感器的情况，假设传感压电片测量结构xp处的振动位移情况，由式（2.27）可知，压电片的输出为

(2.50)

这种情况下，状态空间表达式（2.49）可以进一步表示为如下的压电控制系统模型：

(2.51)

式中：这里矩阵其中

（2）加速度计作为传感器的情况。加速度传感器具有频带宽、重量轻、结构简单和易安装等诸多优点，因此研究基于加速度传感器的控制规律设计具有较大的实际价值。加速度计测量的振动输出信号如下：

(2.52)

式中：xa为加速度传感器与坐标原点之间的距离，与式（2.51）不完全相同，则加速度计的振动输出Ya如下所示：

(2.53)

则对应的尽管上述只考虑一个加速度传感器，但很容易扩展到多个加速度传感器的情况。

2.利用有限元分析法建立系统的状态空间模型

考虑到四面固支板的固有模态难以求取其封闭形式的解析解，由振动理论的叠加原理可知，一个动力学系统的运动可以由主振型的线性组合来描述，则四面固支压电板的厚度方向的位移可以表示为

(2.54)

式中：φi（x，y）和ηi（t）分别为固支板的模态函数和模态坐标。

将式（2.54）代入到动力学方程（2.21），且进一步定义质量矩阵满足如下：

ΦTMΦ=I

根据振型的正交性理论，将式（2.49）代入动力学方程（2.21），则可以得到n个相互不耦合的二阶常微分方程，第i阶模态的动力学方程进一步简化为

(2.55)

式中：ωi和ζi分别为第i阶模态的固有角频率和阻尼，这里fei（t）为经过变化以后的外界模态激励力，fci（t）表示压电片产生的控制力作用。

为了获得压电板结构的状态空间方程，适当忽略高阶模态，结构的运动可以用前n阶模态来表示，这里采用模态位移和速度作为系统的状态变量，则引入如下状态向量：

则系统的状态空间形式为

(2.56)

式中：Y（t）为压电元器件的输出电压；u（t）为输入控制电压；矩阵A、B和C分别为系统的状态、控制和输出矩阵。建立状态空间模型时，一般要考虑系统的输入输出情况，本著作的实验部分只采用压电片和加速度计来测量结构振动，则主要分为如下两种情况建立结构振动的状态方程。

在实际的结构振动主动控制实验中，尤其是对大型板结构的振动控制，由于压电片和加速度计的尺寸远远小于板结构的尺寸，所以在采用压电片和加速度计作为传感器时，可以认定它是测量的某一个点或者某些点的振动位移。为了与前面分析保持一致性，这里仅仅考虑一对驱动器/传感器的情况，假设传感压电片测量结构xp处的振动位移情况，xa表示加速度传感器与坐标原点之间的距离，由式（2.48）可知，压电片的输出为

(2.57)

加速度传感器的输出为

(2.58)

这种情况下，状态空间表达式（2.56）可以进一步表示为如下的压电控制系统模型：

(2.59)

其中

Pi=

以上考虑为一个传感器的情况，对于多个压电传感器可类似推得。