1.5　空间曲线的表示形式

对于空间曲线而言，往往也需要根据其表示形式来了解其空间特征，或反之依据其空间特征（或运动轨迹）了解其解析表示形式.本节先介绍空间曲线的表示，再介绍空间曲线在坐标面上的投影和由曲面围成的立体，这主要是为了进一步加深理解空间曲线及其在空间中的位置关系.

1.5.1　空间曲线的表示

与平面曲线一样，空间曲线也可以看作是一点按照某种规律运动的轨迹，其方程也分为一般形式与参数形式等.

1.一般形式

空间曲线可以看作是两个曲面的交线，因此空间曲线的一般方程为

例如，方程

表示圆柱面x2+y2=1与平面2x-y+z=0的交线（见图1-31）.

例1　方程

表示柱面 与球面x2+y2+z2=1的上半面的交线（见图1-32）.

2.参数形式

空间曲线的参数方程为

这样，通过参变量t，把x、y与z联系起来了.

例2　以初速度v0、仰角α（0°<α<90°）投掷一皮球，不计空气阻力，但由于垂直于投掷方向风的（假设速度为a）影响，球必然偏离投掷方向，求球的运动轨迹方程.

解　建立如下的直角坐标系：以投掷点为坐标原点O，过O的水平直线为x轴.然后把速度v0分解为水平分速度vx和垂直分速度vz，于是皮球的曲线运动就是水平方向、铅直方向和横方向风吹三个运动的合成.在水平方向，由于不受外力，因而始终保持常速v0cosα，所以皮球的运动规律为x=v0tcosα；在横向上的运动规律为y=at；在铅直方向，由于受重力的作用，因而是匀加速运动，所以皮球的运动规律是.

综合起来，就得到运动方程：

式中t0是皮球从抛出到着地所需的时间.运动轨迹如图1-33所示.

利用计算机可以绘制如图1-34、图1-35所示的曲线.

数海拾贝

为了回答为什么DNA呈双螺旋和蛋白质呈α螺旋结构的问题，美国和意大利的科学家，利用离散几何的方法研究了致密线条的“最大包装”（optimal packing）问题，得到的答案是，在一个体积一定的容器里，能够容纳的最长的线条的形状是螺旋形.研究者们意识到，“天然形成的蛋白质正是这样的几何形状”.显然由此我们能够窥见生命选择了螺旋作为其空间结构基础的数学原因：在最小空间内容纳最长的分子.作为遗传物质载体的DNA，其线性长度远远大于容纳它的细胞核的直径.例如构成一条人染色体的DNA的长度是其细胞核直径的数千倍.由此我们可以认为，生命遵循“最大包装”的数学原理来构造自己的生物大分子.

1.5.2　空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的方程为

如果将方程组（1.10）的变量z消去，就得到方程

H（x，y）=0.　　　　（1.11）

现在考虑方程（1.11）所表示的几何含义.若一个点的坐标x、y与z满足方程（1.10），那么x与y必满足方程（1.11），这表明该空间曲线C上的所有点都在曲面（1.11）之上.而方程（1.11）不含变量z，它表示一个母线平行于z轴的柱面.因此，该柱面必定包含空间曲线C.事实上，这张柱面就是空间曲线C在坐标面上的投影柱面，该投影柱面与xOy平面的交线就是空间曲线C在坐标平面xOy上的投影曲线.图1-31中的圆柱面就是空间曲线

的关于坐标平面xOy的投影柱面，xOy平面上的单位圆x2+y2=1就是该曲线在坐标平面xOy上的投影曲线.

例3　求上半球面与锥面的交线关于xOy平面的投影柱面，以及在坐标平面xOy上的投影曲线.

解　半球面与锥面的交线（见图1-36）的方程为

消去变量z得到x2+y2=1.这是一个母线平行于z轴的圆柱面，即是所求曲线关于xOy平面的投影柱面.该曲线在坐标平面xOy上的投影曲线为

由上述讨论可以知道，消去方程（1.10）中的变量x或变量y，再分别和x=0或y=0联立，我们就可以得到空间曲线C在坐标面yOz或xOz上的投影曲线.

1.5.3　由曲面围成的立体

如果知道一个立体的表面的方程，对于认识该立体的形状无疑是有帮助的.例如例3中的半球面与锥面就围成成了一个立体（见图1-36）.

例4　画出旋转抛物面z=x2+y2，柱面1-y2=z所围成的立体图形.

解　先分别绘出旋转抛物面z=x2+y2和柱面1-y2=z，然后组装成所求的立体（见图1-37）.