命题III.5

如果两圆相交，那么它们不能有相同的圆心。

设：圆ABC、圆CDG相交于B、C点。

求证：它们不能有相同的圆心。

假定它们有相同的圆心为E，连接EC，任意连一条线EFG。

那么因为E为圆ABC的圆心，于是：EC就等于EF。又因为：E为圆CDG的圆心，那么EC就等于EG（定义I.15）。而EC已被证明也等于EF，所以：EF也等于EG。于是：小等于大。这是不可能的。

所以：点E不是圆ABC、圆CDG的圆心。

所以：两相交圆不能有相同的圆心。

证完

注解

注意，这一证明实际上表现了如果两个圆相交，那么它们不可能有相同的圆心，这也涉及下一道命题的两圆相切。

这一命题应用在命题III.10中，以陈述圆不能相交于两个点以上。