命题II.12

在钝角三角形中，钝角对边上的正方形的面积大于两锐角对边上的正方形的面积之和，其差为一个矩形的两倍，即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。

设：ABC为钝角三角形，∠BAC为钝角，从B点作BD垂直于CA，交延长线于D（命题I.12）。

求证：以BC为边的正方形的面积大于BA、AC为边的正方形的面积之和，其差为以CA与AD为边构成的矩形的两倍。

因为：线段CD被任意一点A切分，DC为边的正方形的面积等于CA、AD为边的正方形的面积加上CA、AD为边构成的矩形的两倍（命题II.4）。

令：以DB为边的正方形的面积与每个相加。于是：以CD、DB为边的正方形的面积之和等于以CA、AD、DB为边的正方形的面积之和加上以CA、AD为边的矩形的两倍。

又，以CB为边的正方形的面积等于以CD、DB为边的正方形的面积之和，因为，在D点的角是直角，以AB为边的正方形的面积等于以AD、DB为边的正方形的面积之和。

所以：以CB为边的正方形的面积等于以CA、AB为边的正方形的面积之和加上CA、AD为边构成的矩形的两倍。

于是：以CB为边的正方形的面积大于CA、AB为边的正方形的面积之和，其差为以CA、AD为边构成的矩形的两倍（命题I.47）。

所以：在钝角三角形中，钝角对边上的正方形的面积大于两锐角对边上的正方形的面积之和，其差为一个矩形的两倍，即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。

证完

注解

如果三角形是钝角三角形，那么：a2＝b2＋c2-2ch，这里，h为三角形的高，c为三角形的底边。近似于三角形余弦定理a2＝b2＋c2-2bc×cosA。