命题I.27

如果一条直线与另两条直线相交，所形成的内错角相等，那么这两条直线平行。

设：直线ΕF与直线AB、CD相交，形成内错角∠AΕF、∠ΕFD相等。

求证：AB平行于CD。

假定：AB、CD是不平行的，那么它们一定在B、D的方向或A、C的方向相交。

假定：它们在B、D的方向相交于G点。

那么：在三角形GΕF中，外角∠AΕF等于角∠ΕFG。这是不可能的（命题I.16）。

所以：AB、CD在B、D方向的延长线不相交。

同理可证：在A、C方向上也不能相交。

而两条在两个方向上都不相交的直线是平行线（定义I.23）。

所以：AB平行于CD。

所以：如果一条直线与另两条直线相交，所形成的内错角相等，那么这两条直线平行。

证完

注解

这里潜假设了在同一平面，如果所有的线不在一个平面内，术语“内错角”就失去了意义。

欧几里得忽略了另两种可能性，即线可以相交，即在A、D两个方向上，或者朝向B、C。

虽然这是平行线的第一命题，但并未应用公设I.5。

本命题中，平行线作出，在命题I.31中，使用了本命题来论证平行线的作出，本命题也应用在下一命题及命题I.33中。