4.3 直接自适应模糊控制

直接模糊自适应控制和间接自适应模糊控制所采用的规则形式不同。间接自适应模糊控制利用的是被控对象的知识，而直接模糊自适应控制采用的是控制知识。

4.3.1 问题描述

考虑如下方程所描述的研究对象

式中，f为未知函数，b为未知的正常数。

直接自适应模糊控制采用下面IF-THEN模糊规则来描述控制知识

式中，，为R中模糊集合，且r=1，2，…，Lu。

设位置指令为ym，令

选择K=（kn，…，k1）T，使多项式sn＋k1s（n-1）＋…＋kn的所有根部都在复平面左半开平面上。取控制律为

将式（4.35）代入式（4.31），得到闭环控制系统的方程

由K的选取，可得t→∞时e（t）→0，即系统的输出y渐近地收敛于理想输出ym。

直接型模糊自适应控制是基于模糊系统设计一个反馈控制器u=u（x|θ）和一个调整参数向量θ的自适应律，使得系统输出y尽可能地跟踪理想输出ym。

4.3.2 模糊控制器的设计

直接自适应模糊控制器为

式中，uD是一个模糊系统，θ是可调参数集合。

模糊系统uD可由以下两步来构造：

（1）对变量xi（i=1，2，…，n），定义mi个模糊集合（li=1，2，…，mi）。

（2）用以下条模糊规则来构造模糊系统uD（x|θ）

其中，l1=1，2，…，mi，i=1，2，…，n。

采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器来设计模糊控制器，即

令是自由参数，分别放在集合中，则模糊控制器为

其中，ξ（x）为维向量，其第l1，l2，…，ln个元素为

模糊控制规则式（4.33）是通过设置其初始参数而被嵌入到模糊控制器中的。

4.3.3 自适应律的设计

将式（4.35）、式（4.37）代入式（4.31），并整理得

令

则闭环系统动态方程（4.42）可写成向量形式

定义最优参数为

定义最小逼近误差为

由式（4.44）可得

由式（4.40），可将误差方程（4.47）改写为

定义Lyapunov函数

其中，参数γ是正的常数。

P为一个正定矩阵且满足Lyapunov方程

其中，Q是一个任意的n×n正定矩阵，Λ由式（4.43）给出。

取，，令M=b（θ*-θ）Tξ（x）-bω，则式（4.48）变为

即

V的导数为

令pn为P的最后一列，由b=[0，…，0，b]T可知eTPb=eTpnb，则式（4.51）变为

取自适应律

则

由于Q＞0，ω是最小逼近误差，通过设计足够多规则的模糊系统，可使ω充分小，并满足，从而使得，闭环系统为渐近稳定。

收敛性分析如下：

由于Q＞0，ω是最小逼近误差，|ω|≤ωmax，通过设计足够多规则的模糊系统，可使ω充分小，并满足，从而使得，闭环系统稳定。

由于

其中d＞0。

则

其中l（•）为矩阵的特征值，。

则满足的收敛性结果为

可见，收敛误差‖e‖与Q和pn的特征值、最小逼近误差w有关，Q特征值越大，pn特征值越小，|ω|max越小，收敛误差越小。

由于V≥0，，则V有界，因此θ有界，但无法保证θ收敛于θ*，即无法保证f（x）的逼近。

4.3.4 仿真实例

被控对象为一个二阶系统

位置指令为ym=sin（0.1t）。取以下6种隶属函数：μN3（x）=1/（1＋exp（5（x＋2））），μN2（x）=exp（-（x＋1.5）2），μN1（x）=exp（-（x＋0.5）2），μP1（x）=exp（-（x-0.5）2），μP2（x）=exp（-（x-1.5）2），μP3（x）=1/（1＋exp（-5（x-2）））。

系统初始状态为[1，0]，θ的初始值取0，采用控制律（4.39），取，k1=3，k2=1，自适应参数取γ=20。

根据隶属函数设计程序，可得到隶属函数图，如图4.13所示。在控制系统仿真程序中，分别用FS2、FS1和FS表示模糊系统ξ（x）的分子、分母及ξ（x），仿真结果如图4.14和图4.15所示。

仿真程序：

（1）隶属函数设计程序chap4_4mf.m

（2）Simulink主程序chap4_4sim.mdl

（3）输入信号指令S函数程序chap4_4input.m

（4）控制器S函数程序chap4_4ctrl.m

（5）被控对象S函数程序chap4_4plant.m

（6）作图程序：chap4_4plot.m