模块三　交流电路

学习单元一　正弦交流电的基本概念

一、正弦量的三要素

实际工程技术中所遇到的电压、电流，在许多情况下，其大小和方向是随时间的变化而变化的，这类电量为交流电。在选定参考方向后，可以用带正、负号的数值来表示交流量在每个瞬间的大小和方向，这样的数值称为交流量的瞬时值。一般用小写字母表示交流量，例如用u、i分别表示交流电压和交流电流。

表示交流量瞬时值随时间变化的数学表达式，称为交流量的瞬时表达式，也称解析式。表示交流量瞬时值随时间变化的图形，称为波形图。

交流量中，有很多是按照一定的时间间隔循环变化的，这样的交流量称为周期性交流量，简称周期量。随时间按正弦规律变化的周期量，称为正弦交流量，简称正弦量。

正弦交流电易于进行电压的变换，便于远距离传输。交流电气设备与直流电气设备相比，具有结构简单、便于使用和维修等优点，所以正弦交流电在实践中得到广泛的应用。工程中一般所说的交流电（AC），通常都指正弦交流电。

下面以正弦交流电压为例介绍交流电的有关概念。

图3-1所示的电压波形为正弦波，其瞬时表达式

e=E_msin（ωt+φ_u）　　        （3-1）

式中，ω、E_m、φ_u是正弦量之间进行比较和区分的依据，称为正弦量的三要素。

1.正弦量的特征量

（1）周期　正弦交流电完成一次全变化所需的时间叫周期，用字母T表示，单位为秒（s）。

（2）频率　单位时间（即1s）内正弦交流电完成全变化的次数称为频率，用字母f表示，单位为赫兹（Hz）。

周期与频率互为倒数，即

　　        （3-2）

我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家（如美国、日本等）采用60Hz。这种频率在工业上应用广泛，习惯上也称为工频。通常的交流电动机和照明负载都用这种频率。

（3）角频率　单位时间（即1s）内正弦交流电变化的电角度叫做角频率，用符号ω表示，单位为弧度每秒（rad/s）。

周期、频率、角频率三者之间关系（图3-2）：

2.正弦量的有效值

（1）最大值　即交流电中瞬时值的最大值。

正弦交流电动势、正弦交流电压、正弦交流电流的最大值分别用字母E_m、U_m和I_m表示。正弦量的瞬时值大小是随时间变化的，为了更准确描述出正弦量的大小，常用有效值表示。

（2）有效值　若交流电流i通过电阻R在一个周期T内所做的功，与直流电流I在相同时间内流过相同电阻时所做的功相等，则直流电流I称为交流电流i的有效值。在电工技术中，常用有效值来衡量周期电流和电压的大小。电流、电压的有效值分别用大写字母I、U表示。

交流电流的有效值是根据电流的热效应原理来规定的。在数值相同的电阻R上分别通以周期电流i和直流电流I。当周期电流流过电阻时，该电阻在一个周期T内所消耗的电能为

当直流电流流过电阻R时，在相同时间T内所消耗的电能为PT=I²RT。如果在周期电流一个周期T的时间内，这两个电阻所消耗的电能相等，则把这一等效的直流电流I称为交流电流i的有效值，即

　　        （3-3）

由式（3-3）可知，周期电流的有效值等于电流瞬时值的平方在一个周期内的平均值再开方，因此，有效值又称为均方根值。同理，可得周期电压U的有效值为

　　        （3-4）

正弦交流电流i（t）=I_msin（ωt+φ_i）的有效值为

　　        （3-5）

同理，可得正弦交流电压的有效值为

　　        （3-6）

　　        （3-7）

通常所说的交流电的值都是指其有效值。如用某些交流电表测量出来的数值是指其有效值，一般电气设备铭牌上所标注的电压、电流值同样是其有效值。以后凡涉及交流电的数值，只要没有特别声明，都指其有效值。

3.正弦量的相位差

两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用字母“φ”表示。在正弦电流电路的分析中，经常要比较同频率正弦量的相位差。设任意两个同频率的正弦量

i₁（t）=I_1msin（ωt+φ₁）　　　　　i₂（t）=I_2msin（ωt+φ₂）

它们之间的相位差

φ=（ωt+φ₁）-（ωt+φ₂）=φ₁-φ₂　　        （3-8）

两个同频率的正弦量，可能相位和初相角不同，但它们之间的相位差不变。

二、正弦量的相量表示法

正弦交流电用三角函数式及其波形图表示很直观，但不便于计算。对电路进行分析与计算时经常采用相量表示法，即用复数式与相量图来表示正弦交流电。

1.相量

求解一个正弦量必须先求得它的三要素，但在分析正弦交流电路时，由于电路中所有的电压、电流都是同一频率的正弦量，而且它们的频率与正弦电源的频率相同，因此我们只要分析另外两个要素——幅值（或有效值）及初相位就可以了。正弦量的相量表示就是用一个复数来表示正弦量，这样的复数称为相量。由欧拉公式可知

e^{j（ωt+φ）}=cos（ωt+φ）+jsin（ωt+φ）　　        （3-9）

式（3-9）把一个实变数的复指数函数和两个实变数t的正弦函数联系了起来。

cos（ωt+φ）=Re［e^{j（ωt+φ）}］　　        （3-10）

sin（ωt+φ）=Im［e^{j（ωt+φ）}］　　        （3-11）

式中，“Re”表示对复数函数取实部，“Im”表示对复数函数取虚部。这样一个正弦i（t）=I_msin（ωt+φ_i）可以写为

相量在正弦稳态电路的分析和计算中起着重要作用。在线性电路中，正弦激励的稳态响应与激励是同频率的正弦量。在分析正弦稳态响应时，只要求出正弦量的振幅和初相位就可以了，而相量恰好反映了这两个量。因此，引入相量后，可以用比较简便的复数运算来代替正弦量的三角运算。具体表示方法是：用相量的模表示正弦量的有效值（或最大值）；用相量的幅角表示正弦量的初相位。

如某正弦交流电流

i=I_msin（ωt+φ_i）

则其相量表示为

正弦交流电流的最大值相量

有效值相量

说明：凡未做特别说明，本书中的相量均指有效值相量。需要注意的是，相量是一种被用来表示正弦交流量的特殊复数，不等于正弦量，只是一种运算工具，即

电压相量与电动势相量可以用相同的方式来定义。

2.相量图

相量在复平面上可以用有向线段表示。按照各个正弦量的大小和相位关系画出的相量图形称为相量图。如

的相量图如图3-5所示。

注意，复数与正弦量之间不能划等号，即复数不是正弦量，只是用复数对应表示一个正弦量，相量只能表示正弦量的两个要素，角频率需另外说明，因此只有同频率的正弦量其相量才能画在同一复平面上，画在同一复平面上的表示相量的图称相量图。