第7章 优化风险投资组合
7.1 本章要点
●明晰风险资产组合之投资组合机会集合、最小方差组合
●熟悉最优风险投资组合的概念及计算方法
●掌握基于最优风险投资组合的投资组合决策方法
●掌握马克维茨的投资组合选择模型
●理解风险分散、风险聚集和风险分担等
7.2 重难点导学
一、两种风险资产的投资组合
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（1）投资组合收益和风险计算
①资产组合的收益与风险
两资产的资产组合的收益（D为债券，E为股权）：
两资产的资产组合的方差：
②相关系数与资产组合方差
根据相关系数ρ计算出协方差。由
得
协方差越大，在ρDE越大时，投资组合的方差越大。
当完全正相关时，ρDE=1，上式可简化为
当完全负相关时，ρDE=-1，上式可简化为σP=|wDσD-wEσE|
此时可构造完全对冲头寸：
③组合期望收益率、标准差作为投资比例（资产权重）的函数（如图7-1和图7-2所示）
图7-1 投资组合期望收益率作为投资比率的函数
图7-2 投资组合标准差作为投资比例的函数
（2）最小方差投资组合（minimum-variance portfolio）
最小方差投资组合：使得投资组合方差最小的资产组合（如图7-2所示）
风险分散效应：相关系数越低，分散化就越有效，投资组合风险就越低（至少在两种资产的持有量为正时）。
（3）投资组合机会集
投资组合机会集：显示了由两种相关资产构造的所有投资组合的期望收益与标准差（不同资产组合比例）。
图7-3 投资组合的期望收益作为标准差的函数
二、资产在股票、债券与短期国库券之间的配置（资产配置）
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（1）最优风险资产组合：两种风险资产和一种无风险资产
资本配置线：无风险资产、两种风险资产的组合（风险组合机会集）。
图7-4 债务与股权基金的可行集和两条可行的资本配置线
最优风险资产组合：使资本配置线的斜率最大的风险资产组合，这样表示边际风险报酬最大。
最优风险组合求解：
（2）最优整体投资组合
最优整体资产组合为投资者（效用）无差异曲线与最优资本配置线的切点处组合，最优整体组合包含风险资产组合（债券和股票）以及无风险资产。
图7-5 最优全部投资组合的决策
（3）完成一个完整的投资组合的步骤：
①确定所有各类证券的收益特征（例如期望收益、方差、协方差等）。
②建造风险资产组合：
a．计算最优风险资产组合P；
b．运用步骤a中确定的权重计算资产组合P的资产。
③把基金配置在风险资产组合和无风险资产上：
a．计算资产组合P（风险资产组合）和国库券（无风险资产）的权重；
b．计算出完整的资产组合中投资于每一种资产和国库券上的投资份额。
三、马科维兹的资产组合选择模型
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“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”这句俗语在现代财务理论出现前就已经存在很长时间了。直至1952年，哈里·马科维茨发表了投资组合选择的标准模型，揭示了分散化的原则，他因此获得1990年诺贝尔经济学奖。
（1）最小方差边界（前沿）
最小方差边界表示为在给定期望收益的条件下，资产组合方差的最低的点的集合。
图7-6 风险投资组合的最小方差边界
（2）风险资产的有效边界
落在全局最小方差以上的边界被称为风险资产的有效边界。因为在全局最小方差边界以下部分的资产组合是无效的。
（3）最优风险资产组合
图7-7 有最优资本配置线的风险资产的有效率边界
有最高斜率的资本配置线如图7-7所示。该资本配置线与有效率边界相切于风险资产组合P。资产组合P是最优风险资产组合。
（4）完整的资产组合
最优完整资产组合为投资者无差异曲线与资本配置线的切点处组合，最优完整组合包含风险资产组合（债券和股票）以及无风险资产（国库券）。
在进行最优的风险组合决策时，可能会遇到各种限制（例如卖空限制和最低收益率限制等），这些限制能够影响有效率边界和最优风险组合。
（5）资产分割与资本配置
①分离定理（性质）
分离定理是指资产组合管理人将给所有客户提供相同的风险资产组合P，而不顾他们的风险厌恶程度。不同的风险厌恶程度可通过在资本配置线上选择不同的点来实现。
②资产分割
资产组合选择问题可分为两个相互独立的工作。第一项工作是决定最优风险资产组合，这是完全技术性的。第二项工作是根据个人的偏好，决定资本在国库券和风险资产组合中的分配，这时客户是决策者。
四、风险分散化及有关问题
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（1）资产组合中的风险分散
投资组合方差的一般公式：
现在首先考虑一个单纯的分散化策略，构建一个等权重的投资组合，每一证券有一个平均的权重，为wi=1/n，此时上式可以简化为：
如果定义证券的平均方差和平均协方差为
可以将投资组合方差的表达式改写为
讨论：分散化（n↑）对第一项（特有风险）和第二项（关联风险、系统风险）的影响。
为了进一步考察系统风险与证券相关性的关系，假定所有证券有同样的标准差σ，而且所有证券间的相关系数为ρ，每对证券的协方差为ρσ2，上式变为：
当ρ=0时，再次得到了保险原则，投资组合的方差在n足够大时趋向于0，当ρ>0时，投资组合方差为正。实际上，当ρ=1时，投资组合的方差不管n为多大都等于σ2，这表明分散化没有好处。一般来说，n足够大时，上式表明系统风险为ρσ2。
表7-1中列出在证券数目增加，ρ=0和ρ=0.4的两种情况下，投资组合的标准差。表中σ=50％，正如人们所意料的，投资组合风险在ρ=0.4时较大。更令人吃惊的是在相关性为正的情况下，当n增加时，投资组合的风险并不怎么减少，证券的相关性限制分散化的作用。
表7-1 相关及非相关等权重投资组合的风险降低情况
（2）系统性风险与非系统性风险
分散化能够降低风险，但是当共同的风险来源影响所有的公司时，分散化就不能消除风险了。资产组合的标准差随着证券种类的增加而下降，但是，它不能降至零。在最充分的分散条件下还存在着市场风险，它来源于与市场有关的因素，这种风险亦被称为“系统风险”，或“不可分散风险”。而那些可被分散化消除的风险被称为“独特风险”、“特有公司风险”、“非系统风险”或“可分散风险”。（如图7-8所示）
图7-8 投资组合的分散化
（3）保险原理
当所有的风险都是对公司的特定影响时，分散化就可以把风险降至任意低的水平。其原因是所有风险都是独立的，任何一种特殊来源的风险可以降低到可忽略的水平，这有时被称为保险原理（insurance principle），因为保险公司通过向具有独立风险来源的不同客户开出许多保单，每个保单只占保险公司总投资组合的一小部分，用这种分散化的方法达到降低风险的目的。
（4）风险聚集、风险分担与保险原理
需要注意的是，收益率的方差和损失概率都不能充分度量风险，因为它们没包含损失的绝对数量信息。
增加另外一个风险资产到投资组合（风险聚集），实际只增加投资数目，即使对收益率有更精确地预测（标准差减少）也不能减少总的风险，因为这变成了在更大的投资下的不确定性。事实上，投资到更多资产，只会增加总风险。
例如，n个不相关的保单问题，假设每个保单期望获利π美元，那么总期望获利和标准差都随保单数n变化：
其中，均值和标准差比不随n变化而变化，所以很有意思的是风险一收益均衡不会因为增加新的保单得到改善。
如果风险聚集（增加出售新的独立保单）不能解释保险行业，那么怎样才可以呢?答案是风险分担，即把一定风险分散到众多投资者身上。保险商从事于风险分担，他们限制自己的支出于单一的风险，把风险分散给其他保险商，每位保险商通过许多项目分散大的固定组合风险，每个项目风险分担到许多保险商身上：把固定的组合风险分担成很多份。
（5）长期资产的风险
增加投资期类似的投资到更多资产，这增加了总风险。平均的收益率不能用来作为第一年度投资的风险投资组合和第二年度投资相同风险投资组合的比较值，应该比较两年投资的（两年持有期收益）财务终值：即用两年投资的风险投资组合与一年投资的风险投资组合加一年的无风险投资相比。
虽然“投资期限越长，股票收益率的标准差越小”以及“投资期限越长，股票获得低于无风险利率收益率或负收益率可能性越低”的说法正确，但这并不意味投资期限越长风险越低。因为，首先，真正风险体现在期末财富数量的不确定性。比如，假定年收益率完全不相关，尽管25年风险资产投资的年收益率标准差是1年期的1/5，但25年持有期的期末财富标准差却是1年期结果的5倍。其次。持有期越长，尽管发生亏损的可能性降低，但发生严重亏损的可能性越大，综合考虑亏损的可能性和亏损程度，投资的风险是变大了。