2.2 期望与方差：百变骰子

在当下的信息时代，人人生产信息，人人分享信息，我们忽然意识到，最稀缺的资源早已不是信息，而是人们的注意力。无论是一篇网文、一幅漫画，还是一部电影，引起人们注意的不二法则就是——简洁明确的特征。网文要有充满悬疑的话题；漫画要有个性鲜明的画风；电影则最好有一两个大牌明星，一切都要有特征，没有特征，便会沦为平庸。

在概率论的世界里，随机变量也像网文、漫画和电影一样需要特征，这些特征应该能够反映一个随机变量的本质，这些特征主要有两个，一个叫期望；另一个叫方差。

假定有四个不同的骰子，如图2-1所示，这四个骰子会带领我们认识期望和方差。

期望

期望是随机变量的第一个特征，它类似于我们常说的平均值，但又不是简单的求和平均。我们沿用上一节的例子来说明什么是期望。

还记得莫雷的骰子赌局吗？表2-3列出了莫雷赌局所有可能出现的结果，随机变量X表示莫雷赢得的筹码。根据X的取值和对应的概率，可以计算出X的期望：

E（X）=0.518×（+1）+0.482×（-1）=0.036

由此，我们可以得到这样的结论：莫雷每一局所赢筹码的期望是0.036两黄金。

数学期望，简称期望，是随机变量的所有取值以对应概率为权重的加权求和。换言之，随机变量的每一个取值乘以它对应的概率，再相加求和，就得到了随机变量的期望。

设随机变量X有n个取值，分别是x1, x2, …, xn，对应的概率分别是p1, p2, …, pn，那么X的期望E（X）是：

E（X）=x1·p1+x2·p2+…+xn ·pn

这里需要说明，上一节我们提到过，随机变量分为离散和连续两种，由于连续性随机变量的计算涉及微积分，超出了本书的讨论范围，所以，本章只讨论离散随机变量。

下面，我们通过两个骰子游戏进一步理解期望。

·骰子游戏1

掷骰子一次，随机变量X是掷出的点数，计算X的期望。

我们如法炮制，列出X的取值和对应的概率，如表2-4所示。由此可以求得期望：E（X）=（1/6）×1+（1/6）×2+（1/6）×3+（1/6）×4+

（1/6）×5+（1/6）×6

=3.5

这个骰子的点数期望是3.5，可是，骰子上可没有3.5这个点数，期望值是3.5代表了什么呢？

带着这个疑问，我们换一个骰子，把原来的六点改成三点，重新来过。

·骰子游戏2

掷骰子一次，随机变量X是掷出的点数，计算X的期望。

根据表2-5，可以求得期望：

E（X）=（1/6）×1+（1/6）×2+（1/6）×3+（1/6）×3+

（1/6）×4+（1/6）×5

=3

这一次，点数的期望值是三点，刚好是X可能出现的点数，似乎是一个有意义的结果。可是，意义在哪里？难道反复抛掷骰子B，最终就会一直出现三点吗？显然不是。

读者可以自己设计几个骰子，算一算它们的点数期望，看看期望和点数之间是不是存在联系。最终我们会发现，期望并不一定是随机变量的某一个值，期望可以是任何数值，即使它刚好与随机变量的某个取值相同，也与这个取值没有任何关系。期望只是随机变量的一个特征值，它就像一个球体的“球心”，随机变量的取值好比球体内的点，这些点分布在球心周围，甚至就是球心本身。因此，用期望来描述随机变量，就好像用球心来描述一个球体。但是球心不足以描述球体的全部特征，球体还有另一个特征——“半径”，随机变量的另一个特征“方差”正是用来描述“半径”的。

方差

我们继续做骰子游戏。

·骰子游戏3

如图2-1所示，骰子3有六个面，却只有两个点数——一点和五点，表2-6列出了随机变量X的取值和概率，由此可以求得期望：

E（X）=（1/6）×1+（1/6）×1+（1/6）×1+（1/6）×5+

（1/6）×5+（1/6）×5

=3

骰子3的点数期望与骰子2一样，可是，这两个骰子明显是不同的，这时我们需要用方差来区分这两个骰子。

方差是随机变量取值与期望之差的平方，以对应概率为权重的加权求和。换言之，随机变量的每一个取值减去期望，求平方，再乘以它对应的概率，最后求和，就得到了随机变量的期望。

标准差是方差的平方根，是与期望具有可比性的一个特征值。

设随机变量X有n个取值，分别是x1, x2, …, xn，对应的概率分别是p1, p2, …, pn，那么随机变量X的方差Var（X）和标准差σ（X）分别是

方差和标准差总是在一起使用，用来表示随机变量偏离期望的程度，偏离的程度越大，方差和标准差也越大，反之则越小。

以骰子2和骰子3为例，前面已经计算过，它们的点数期望都是3，我们来计算方差和标准差。

骰子2的点数的方差是：

Var（X）=（1/6）×（1-3）2+（1/6）×（2-3）2+（1/6）×（3-3）2+

（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（4-3）2+（1/6）×（5-3）2

=1.67

骰子2的点数的标准差是：

骰子3的点数的方差是：

Var（X）=（1/6）×（1-3）2+（1/6）×（1-3）2+（1/6）×（1-3）2+

（1/6）×（5-3）2+（1/6）×（5-3）2+（1/6）×（5-3）2

=4

骰子3的点数的标准差是：

很明显，骰子3的点数方差大于骰子2的点数方差，这说明骰子3的点数距离期望值更“远”一些，或者说，骰子3的点数更加分散，这一点从表2-5和表2-6中也可以看出。如果点数距离期望值非常近会怎样呢？

·骰子游戏4

如图2-1所示，骰子4有六个面，每个面都是三点，表2-7列出了随机变量X的取值和概率，由此可以求得期望：

E（X）=（1/6）×3+（1/6）×3+（1/6）×3+（1/6）×3+

（1/6）×3+（1/6）×3

=3

方差：

Var（X）=（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2+

（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2

=0

标准差自然也是0。

骰子游戏4是一个极限情况，即随机变量的每一个值都一样，这时，期望一定就是这个值，方差也一定是0——方差和标准差的最小值。事实上，这样的极端情况仅存在理论可能性，并无实际意义，骰子的所有点数都相同，又何谈随机变量和概率呢？

协方差与相关系数

两个随机变量X和Y组合起来构成的随机变量（X, Y）称为二维随机变量，二维随机变量的方差称为协方差。

以骰子1和骰子2为例，设随机变量X为骰子1的点数，随机变量Y为骰子2的点数，X和Y组成一个二维随机变量（X, Y）,（X, Y）的概率分布如

表2-8所示。X和Y的协方差用Cov（X, Y）表示，计算公式为

Cov（X, Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}

由此前的计算结果可知：

E（X）=3.5

E（Y）=3

由表2-8中的数据，可以计算得到X和Y的协方差为：

Cov（X, Y）=0

计算出协方差，便可以进而计算出随机变量X和Y的相关系数ρXY，相关系数的计算公式为

相关系数ρXY可以用来判断随机变量X和Y的线性相关关系，ρXY=0说明X和Y不存在线性相关关系，ρXY≠0说明X和Y存在线性相关关系。上述例子中，由于Cov（X, Y）为0，所以ρXY也为0，这说明骰子1的点数和骰子2的点数没有线性相关关系。

表2-9是另一组二维随机变量的概率分布，这是由两个标准骰子的点数组合而成的二维随机变量，根据协方差和相关系数的定义，可以计算得到：

Co v（X, Y）=-2.92

ρXY=-1

这说明X和Y存在线性相关关系，观察表中数据可以看出，X和Y的关系是Y=7-X，这也验证了我们的结论的是正确的。

表2-10是第三组二维随机变量的概率分布，根据协方差和相关系数的定义，可以计算得到：

Cov（X, Y）=0

ρXY=0

这说明X和Y不存在线性相关关系。观察表中数据可以看出，X和Y的关系是Y=X2，也就是说，ρXY=0只能用于说明两个随机变量不存在线性相关关系，无法判断二者是否存在非线性相关关系，这一点读者一定要谨记。