![线性代数及应用](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/966/26619966/b_26619966.jpg)
第一节 行列式概念的引进
【课前导读】
在求解二元或三元一次线性方程组时,通过高斯消元法,不难发现方程组的解可以用方程组的系数和常数项来表示,但想强行记住这些表达式是很不容易的,特别是对于三元一次线性方程组.为此,行列式作为一种速记符号被引入.通过行列式符号,可使方程组解的表达式更加简洁和规整,更便于使用.
【学习要求】
1.了解二元和三元线性方程组的解与方程组系数和常数项之间的关系.
2.理解二阶和三阶行列式的概念和它们所表示的代数和.
3.掌握二阶和三阶行列式的对角线规则,并能使用对角线规则来计算二阶和三阶行列式.
一、二阶行列式
设有二元一次线性方程组
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0010-0001.jpg?sign=1739332718-9OTBQwiBY8e5Yjanh4LrFtrNz4SkbZk1-0-3381af921f926ef73ef7ce6a326424e4)
当a11a22-a12a21≠0时,由高斯消元法可得线性方程组(1-1)的唯一解
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0010-0002.jpg?sign=1739332718-yBpuoMrXkus6wH4UhHLcF1SbO6dgjAhf-0-10c026b1ab510ae5715425877ab2716d)
可以看出,线性方程组的解(1-2)由线性方程组的系数和常数项构成.若想强行记住这些表达式,是不容易的.为了便于记忆,人们引进符号
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来表示代数式a11a22-a12a21,并称这个符号为二阶行列式.通常,二阶行列式的计算可用图1-1表示.
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图1-1 二阶行列式对角线规则
基于上述二阶行列式的概念,代数式b1a22-a12b2和a11b2-b1a21可分别记为
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0011-0005.jpg?sign=1739332718-3nNK61C3fjasUvOryMwpiSY5gaOsPinH-0-29bb7c726d9a171c43f8867228809a42)
因此,当行列式
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时,线性方程组(1-1)的解可表示为
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0011-0007.jpg?sign=1739332718-c3lBzHEYeVul1ST30fdzSqnJuE7c48LD-0-0316ed72db1e57338a063ac67d355124)
其中,D由方程组的系数构成,称之为系数行列式.将D的第一列换成方程组的常数项可得D1,将D的第二列换成方程组的常数项可得D2.显然,式(1-3)比式(1-2)更便于记忆和使用.
例1 解二元一次线性方程组
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解 根据给定的线性方程组,可知
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0011-0009.jpg?sign=1739332718-L7NrestEPE9xfzjXjWvHviWHEVrfwOIy-0-22b58e3c4074ad0e878b02a2fc1f27bd)
因为系数行列式D≠0,所以方程组存在唯一解
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0011-0010.jpg?sign=1739332718-QR8YUjlxatBIuFA4Fk4RdBDZwyYbSa9e-0-00736e63c673f572a59ebd1e3f24bc01)
二、三阶行列式
设有三元一次线性方程组
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0011-0011.jpg?sign=1739332718-4AzMcX1TPXVbUQKMW5fBckNxhnBqNT1o-0-9338b73e59c73bb9776f97c6d11a1c93)
当a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31≠0时,由高斯消元法可得线性方程组(1-4)的唯一解
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0012-0012.jpg?sign=1739332718-kSm7XVa24QkNpgxIerJUrm8Lqu45ih5C-0-a8775be1f4b428d107e7d358eaee9853)
可以看出,线性方程组的解(1-5)也由线性方程组的系数和常数项构成.相对于二元一次线性方程组,若想记住这些表达式,更不容易.同样地,为了便于记忆和使用,人们引进了符号
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0012-0013.jpg?sign=1739332718-Q353R5zMowVaPC0DKgj8Wbb4tiJhKdY9-0-e5cf8cf873dcb318938dd087fde2d785)
来表示代数式
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,
并称这个符号为三阶行列式.通常,三阶行列式的计算可用图1-2所示的对角线规则(也称为沙流氏规则)来记忆.
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0012-0014.jpg?sign=1739332718-ebyb6EJRLn2dnzU3sAECoIPMkL42ar6h-0-997152799cc062b2661c2c8aa753887a)
图1-2 三阶行列式对角线规则
基于上述三阶行列式的概念,代数式
b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3, a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31, a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
可分别记为
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0012-0015.jpg?sign=1739332718-dmmqj9MeaTe8UhMu6kOsSSmqIpmMemql-0-6400c0c011e020970833f383b0c988c1)
其中,D由方程组的系数构成,称之为系数行列式.将D的第一列换成方程组的常数项可得D1,将D的第二列换成方程组的常数项可得D2,将D的第三列换成方程组的常数项可得D3.
因此,当行列式
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0013-0016.jpg?sign=1739332718-gQMwru7tLUmticfoTc2hQHnnq0vlNPWy-0-d765fb8f7a3803639d55152334e5bf31)
时,线性方程组(1-4)的解可表示为
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0013-0017.jpg?sign=1739332718-APx1DgGZLfEdR3N2PUw5HZ0OAqmumGgX-0-eb959f2f24d74ea5633728d36f0fb6dd)
例2 用对角线规则计算行列式
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0013-0018.jpg?sign=1739332718-0PyT99ethzHpW48mdkkBPU85IAfutgdt-0-5ca20a1e9cefbc9329e78bce18d12332)
解 D=1×1×2+2×0×2+1×3×3-1×1×2-2×3×2-1×0×3=-3.
例3 解三元一次线性方程组
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0013-0019.jpg?sign=1739332718-VLcNv6d0oXOL4hiI8ynL1ZtlYbhQk7SI-0-f269d285fc9b682a1fed5ff0b45ead79)
解 根据给定的线性方程组,可知
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0013-0020.jpg?sign=1739332718-HbtQPdhVzIi7IBMxOWcxkGYLlY4nX83A-0-c1e1eaa457968ebeca5da1b8af25190e)
因为系数行列式D≠0,所以方程组存在唯一解
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0013-0021.jpg?sign=1739332718-uGS8DUHs5yZCFw8Odg7lsWANauPs9IMF-0-2f426c379891cb24e54b7fdce9157471)
在上文中,我们介绍了二阶和三阶行列式,并使用对角线规则来记忆它们所表示的代数式.下面我们来介绍一类特殊情形——一阶行列式.显然,一阶行列式只有一行一列,一般记为a,不记为,以免和a的绝对值
混淆.
另外,需要指出的是,我们现在所使用的行列式表示法主要归功于柯西和凯莱.柯西第一个把行列式的元素排成方阵,并采用双足标记法,形成有序的行和列,凯莱第一个对方阵两边加上竖线,最终形成了现在的行列式表示法.
综上所述,我们介绍了一阶、二阶和三阶行列式的符号记法以及对角线规则.自然地,人们会联想到n阶行列式.为了从理论上系统地介绍n阶行列式,我们先要学习和掌握与排列相关的概念、运算和性质.
习题1-1
1.用对角线规则计算下列二阶行列式:
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0014-0024.jpg?sign=1739332718-qk1LjVXEGOvCVv0aJhC5nV8dnNRhI67M-0-57252e754994f10b53abaa8a1cebc511)
2.用对角线规则计算下列三阶行列式:
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0014-0025.jpg?sign=1739332718-DxAPTjHD0FLjT0ROoGN8Vceiwjnc94zQ-0-f28aac13c7f541c862ebc5d4f359f989)
3.用行列式解线性方程组:
![](https://epubservercos.yuewen.com/2DA564/15117562205415506/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-0014-0026.jpg?sign=1739332718-4V9zVcBGk2UPc6MQR8mc4DnHNVsG1Z3E-0-462d3df4ab9750aecedf3a1ca4caafcf)
4.解方程.
5.证明等式=a3+b3+c3-3abc.