1.4.1　第一重要极限

为了更好地理解第一重要极限，先给出如下夹逼定理.

定理（夹逼定理）　如果，且

G（x）≤f（x）≤F（x），

则

从直观上可以看出，该定理是很明显的.当x→x0时，f（x）的左、右函数G（x）和F（x）的极限都同时无限趋近于常数A，则会“逼迫”中间函数f（x）也无限趋近于常数A.

下面根据该定理证明第一重要极限.

作单位圆，如图1-22所示，取圆心角∠AOB=x，令x→0+，不妨假设0<x<.由图可看出，S△AOB<S扇AOB<S△AOD，即

从而有

取倒数

因为 ，根据本节定理，证得

又因为cosx和 均是偶函数，所以当x→0-，即对于- <x<0，结论仍成立，

由§1.2节定理2，有

第一重要极限公式（1-1）在极限运算中有重要的作用，要较好地掌握它，必须认清它的特点.

发现：（1）极限是 型，且含有正弦函数；

（2）极限为类型，x→x0或x→∞时，□→0，其本质为：

例1　求.

解　.

例2　求.

解　

例3　求.

解　

例4　求

解　

例5　证明.

证明　令arcsinx=t，则x=sint，当x→0时，t→0，则

发现：（1） ；（2） ；（3） ；（4）sinkx≠ksinx.