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2.1.3 函数可导与连续的关系
函数连续与可导是函数的两个重要性态,那么它们关系如何?先观察函数y=|x|和在原点的连续性与可导性,其图像分别如图2-2和图2-3所示.
![](https://epubservercos.yuewen.com/C83605/14615860104561706/epubprivate/OEBPS/Images/img00057001.jpg?sign=1738857965-XGqQ4i4WhgWvpR2RxQAD8bwf8jmRYSh4-0-06e4022f0965b531f7552f2eda68d542)
图 2-2
![](https://epubservercos.yuewen.com/C83605/14615860104561706/epubprivate/OEBPS/Images/img00057002.jpg?sign=1738857965-iqf458afDyGz9L4j3MMRIOBZjCV3blrn-0-15643f78ac862c9707ff61006c0250a0)
图 2-3
直观上观察到两个函数在定义域区间内的任何点处都是连续的.由于导数的几何意义是曲线切线的斜率,显然它们在坐标原点处不存在切线,所以它们在原点处不可导.因此,函数在某点处连续,在该点处不一定可导.那么,函数在该点处可导就一定连续吗?下面用定理来回答.
定理2 如果函数y=f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处一定连续.
证明 函数y=f(x)在点x0处可导,则存在,因为
![](https://epubservercos.yuewen.com/C83605/14615860104561706/epubprivate/OEBPS/Images/img00057004.jpg?sign=1738857965-5VGMBpvmTlLbC6ymwy6Lxkg5k7BGagCe-0-3c01016075525345ade3fe226e750334)
所以函数y=f(x)在点x0处连续.
下面举例说明函数在点x0处连续,但在此点不可导.
例6 讨论函数y=|x|在点x0=0处的连续性与可导性.
![](https://epubservercos.yuewen.com/C83605/14615860104561706/epubprivate/OEBPS/Images/img00057008.jpg?sign=1738857965-eNiw1Eo8Jp8xjN5hC78KW16IsmOPjBaF-0-fc4505142251619fd573510fba14dd1a)
所以y=|x|点x0=0处连续.
![](https://epubservercos.yuewen.com/C83605/14615860104561706/epubprivate/OEBPS/Images/img00057005.jpg?sign=1738857965-MMhL1OspEgnPgCAWrFNHPlSysOUUNk9t-0-3f41c704732319677da1d58bd1ad74ff)
在x0=0处左、右导数不相等,所以 不存在,故在x0=0处函数y=|x|不可导.
发现:若函数在某点可导,则其在该点一定连续;若函数在某点连续,则其在该点不一定可导;若函数在某点不连续,则其在该点一定不可导.