前言

数学是映射科技进步的宏伟殿堂，趣味数学则是其中一座充满趣与美的雅室。

计算机是现代科技发展的里程碑，程序设计则是一把开启成功之门的金钥匙。

2002年在北京的国际数学家大会（ICM2002）期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。英国数学家罗素说过：“数学，不但拥有真理，而且也具有至高的美，是一种冷而严肃的美。”

当你走进趣味数学这座雅室，你就会在亲身体验“数学好玩”的同时，领悟数学的“趣”，感受数学的“美”：逻辑美与形式美、自然美与变幻美、对称美与非对称美、和谐美与奇异美，美不胜收！让你在趣的感悟与美的陶醉之下，萌发溶入数学趣的梦想，涌动发掘数学美的冲动。

趣味数学好玩，程序设计有趣，这两个深受当代青少年朋友喜爱和追捧的热点的交汇融合，是信息时代的必然，是学科相辅相成的典范，更是读者期盼的水到渠成。

处于信息社会的今天，趣味数学须与时俱进，适应时代潮流不断向纵深发展，不断充实新的养料、注入新鲜血液，原地踏步就会丧失生机与活力。计算机的广泛普及与程序设计的全面推广，为趣味数学带来拓展与勃发的春天。同时，趣味数学也为程序设计应用提供了广阔而生动的舞台。

爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师，它可激发人的创造热情、好奇心和求知欲。”趣味数学蕴含“趣”与“美”，编程拓展突出“广”与“深”，把原有趣味数学问题的趣与美拓展到更广阔的境界与更深入的层次，以培养与提升我们的创新意识与开拓能力。

程序设计作为开发利器，对数学猜想实施编程验证无可厚非。但仅仅停留在验证阶段却远远不够，有必要发挥这一利器的潜能，开发与光大趣味数学的趣与美，并试图探测与发掘新的数学瑰宝。

事实上，很多著名数学经典都是由一些简单案例经引申、拓展与提炼而成的。可以说，任何复杂系统都可以追溯到一个简单的原型，而许多浅显问题都可以拓展并融入更为广阔深奥的境界。

书中构造形趣的卡普雷卡数3025＝（30＋25）²引人注目，通过编程从广度上拓展至多位，从深度上拓展至“多段”和与“多次幂”（下式就是15位6段5次幂式）：

346531411903049＝（346＋53＋141＋190＋30＋49）⁵

如果说人工推出的4对数字的挑剔数列2 3 4 2 1 3 1 4并不显山露水，那么请欣赏n＝12时的挑剔数列：

1 2 1 3 2 11 9 3 10 4 12 8 5 7 4 6 9 11 5 10 8 7 6 12

数列中每一对k（1~12）数中间相隔k个数，其优美而奇特的精妙配置深深打动我们，彰显出数学序列的形式美与奇异美。

人工打造的对称乘积式36×84＝48×63体现出朴素的对称美，如果因其数字较少且运算过于单调而不够隆重与精彩，那么请看：

4^5-81×72÷3＋906＝609＋3÷27×18-5^4

数式等号两边对称分布10个数字，对称嵌入含乘方（^）的5则运算，等式左右两边从数字到运算符完全对称，精妙绝伦！

以上寥寥数例，充分说明在趣味数学与时俱进向纵深发展的进程中，程序设计拓展不可或缺。

本书精选并提出的趣味数学问题，包括神奇整数探求、精巧数式发掘、多彩数列汇集、几何优化展示、数形结合欣赏、新颖数阵构建、智力游戏揭秘等，著名经典与新颖独创并存，巧妙探求与拓展编程同在，题型广泛，趣美并茂，雅俗共赏，深入浅出。为方便阅读，把相关或相近的内容整合为一章，每章围绕一个中心主题展开，各节具有相对独立性。全书共10章，现把各章的内容简介如下。

第1章为神奇整数探求。数学是从整数起步的，该章将与诸位一道领略数学殿堂上神奇整数的风韵：有与本身构成数字息息相关的水仙花数、兰德尔数、优美倍和数与倍积数、数字同奇偶的平方数与优美平方数等；也有数学家们长期研究过的勾股数、长方体数、六个正整数问题、完全数与p-完全数；更有构形独特的卡普雷卡数、雅趣守形数与精妙的逐位整除数等，琳琅满目，蔚为壮观；最后压轴的“六六大顺数”，经逻辑推理层层揭开它的神秘面纱，进而发掘其奇妙的“插9”特性，无疑是神奇整数中的闪光点。

第2章为素数世家风采。素数是整数中探讨难度较大、研究内容最多的一类奇特整数，推介试商判别法与厄拉多塞筛法是搜索素数的基础。素数世家中有颇具结构美的对称素数、素数变形金刚、逆序素数对、素数等差数列等亮丽“新秀”，更有数学家们提出并研究过的梅森尼数、费马数、孪生素数对、欧拉与勒让德素数多项式、哥德巴赫猜想等显赫“大腕”。展现素集线的“乌兰现象”描绘了素数集聚的神秘色彩，两个有趣的连续合数集增添了素数分布的奇特风韵。素数世家，无愧于“上帝用来描写宇宙的文字”之美誉。

第3章为数式精彩纷呈。该章在整数素因数分解式的基础上，探索涉及分数的埃及分数式与桥本分数式，探讨涉及整数的优美和式、平方式、变序数和式与变序数倍积式等。在探求隐序四则运算式与优美综合运算式中，展现数字与运算符的美妙结合。重点发掘从乘积运算、四则运算到综合运算的系列对称运算式，让我们观察、欣赏、赞叹、领悟数学式的对称美、和谐美与奇异美！最后压轴的分段和幂式，则是对卡普雷卡数广度的开拓与深层的发掘。数式精彩！精彩纷呈！

第4章为方程经典汇趣。该章汇集韩信点兵、百鸡问题及羊犬鸡兔问题等古典趣算，并探讨牛顿“牛吃草问题”、n！结尾多少个零等外国有趣经典。集中探求具有特色的不定方程、不等式等一般数学推理较难处理的难点，其中，和与积的整数部分展示了数学探索与编程拓展的有机融合。通过猴子分桃与水手分椰子的妙思巧解，首次把这两个著名趣题联系起来，并统一编程拓展。最后的亮点无疑是应用连分数高精度求解佩尔方程，摆平自然界对人类智商的刁难与挑战。

第5章为精巧求解剖析。精巧求解，包括高精度计算，是最具吸引力的热点，也是让人望而却步的难点。从互积和与嵌套根式和的巧算、同码数的整除与求和规律探索，到建模统计与分类统计、游戏中的素数概率计算等，突出一个“巧”字。深入探求最小0-1串积、指定多码串积与尾数前移问题，突显一个“精”字。拓展梅齐里亚克的砝码问题与错位排列的伯努利装错信封问题，精巧并存，耐人寻味。飘逸于数学殿堂的两个“幽灵”e和π，凝聚数学的精华，彰显编程的卓越。

第6章为多彩数列欣赏。数列、序列（包括数环）是趣味数学的精彩环节。该章汇聚相亲数对与相亲数环、斐波那契序列与卢卡斯序列、德布鲁金环序列等有影响的著名序列；新推构思独创的精彩双飞燕、优美数序列、等幂和n元组、指积序列、双码二部数序列与连写数序列等，妙趣横生。拓展有着ACM背景的“2部数积”为枚举难点的突破留下思索的空间。最后压轴的“挑剔数列”的设计与展现无疑是数列的亮点，其高超的结构美与独特的奇异美让人赞叹不已！

第7章为最优探索展示。最优设计与最值探求往往是实际应用案例的目标，是最具挑战思维与创新精神的课题。该章汇聚有插入运算符的最值、整数分解中的最值、条件最值与无理函数最值等最值探求典型案例；有探求迷宫最短通道、展现序列子段与数阵子形之最的最优操作；有智能甲虫安全点、构建最大容器、优化供水网与创新“铁人三项”等几何最优设计；重点拓展泊松分酒和杜登尼省刻度尺等形象生动的优化典范。最优探索，有数值的，也有几何的；有国际经典，也有新颖独创，颇具启发性与示范性。

第8章为数形结合出彩。数在形中，数构成形，数形结合，可使图增色，形添彩。该章汇集在三角形、五角星等几何图形上填数、爱因斯坦做过的填数趣题及构建等边和积三角形等优美图案；平凡数字经精巧构思排列呈现出各种生动的数码金字塔、空心菱形、横竖折对称、斜折对称方阵与旋转方阵等，最生动、最优雅地展现数形结合之美。通过“数形结合巧求最值”展现数形结合在简化最值求解上的应用，探求素数和环与数码串珠环等具有理论意义与应用价值的实际案例，令人回味无穷。

第9章为智能游戏探秘。猜想探索与游戏揭秘是最具吸引力的热点，也是检测与提高探索能力的考点。该章汇聚3x＋1猜想、3位与4位黑洞数探索、等距平方数及欧拉做过的题、单数码方幂等数字趣题；同时在约瑟夫出圈基础上推出新颖的横排左右报数出列，在硬币行倒面基础上推出有智能、有深度的硬币矩阵翻转等；探讨汉诺塔游戏、巴什游戏、威索夫游戏与移动8数码游戏等有难度的游戏宝典。通过这些具有开创性与智能性的猜想与游戏案例，激励我们开拓计算思维，提升创新意识。

第10章为数阵天地大观。数阵包括矩阵、方阵以及三角阵等，形式广泛，内容翻新。该章探讨杨辉三角与莱布尼茨三角这两个中外著名的三角数阵，并建立二者之间的内在联系。探索影响深远的高斯皇后问题、皇后全控棋盘、最长马步路径、马步遍历与马步型哈密顿圈，再现棋盘上的风云故事及其恢宏演绎。幻方是古今中外雅俗共赏的数学奇葩，从千古洛书开始，探讨n阶幻方、积幻方以及素数幻方的巧妙构建，并首次把“对角正交拉丁方”纳入幻方范畴，突显幻方的博大精深。

本书突出以下特色。

（1）开创探索趣味数学与程序设计交汇融合。

开创趣味数学与程序设计的交汇融合，探索传统文明与现代科技的紧密结合。应用程序设计把趣味数学问题在广度与深度上拓展，全方位提升原有问题趣与美的品位，促进趣味数学的深入发展，焕发趣味数学的炫丽青春。

（2）注重趣味性与吸引力，精选趣味数学问题。

精选并提出趣味数学问题注重趣味性与吸引力，立足整数基础，广泛涉及数对、数式、数列、数阵、数形与数游，既有引导入门的基础题，也有复杂高超的综合题；既有名扬中外的著名经典，也有构思精巧的新颖独创，雅俗共赏，深入浅出。

（3）注重编程算法引导与设计技巧综合运用。

拓展程序采用功能丰富、应用面广的C语言编程设计。考虑到读者程序设计基础不一，算法以基本枚举与递推为主，注重编程算法思路引导，注重分解、整合、转换、求精等技巧的综合运用。程序给出完整代码并详细注释，有利于程序的阅读、修改、变通与调试。

（4）展示程序的运行结果，突显趣与美的拓展。

每一趣味数学问题在思路开拓与精巧求解之后，从广度与深度上展开拓展编程。展示程序运行结果，突显数学问题趣与美的拓展，使读者通过欣赏与比较，加深对拓展的理解，有利于激励开拓计算思维、开启益智训练、开展数学娱乐的兴趣。

本书得到孙明保教授、刘永年教授、周持中教授、严权锋教授的大力支持，并得到湖南理工学院同行及清华大学出版社编辑们的热情帮助，在此一并表示感谢！

本书适合大学、中学在校学生阅读，也可供程序设计基础不同的广大数学爱好者与奥数竞赛参与者学习参考。开卷有益，我相信您总能从书中找到自己的兴趣点而有所收益，总能从自己兴趣点的引申与拓展中得到启迪。

趣味数学与程序设计的融合是一个系统工程，本书仅仅为这一工程的起步探索抛砖引玉。因所涉范围太广，书中疏漏之处在所难免，恳请读者批评指正。

杨克昌

2018年10月于岳阳南湖