1.3　平方数汇趣

一个整数的2次幂称为平方数（又称完全平方数）。例如，36＝6²，121＝11²等都是平方数。本节探讨平方数的几个有趣的问题。

1.3.1　“1和2”的平方数

国外文献中有标题“1和2”的趣题给出了一类平方数的独特构成。本节在给出简单求解基础上适当拓展。

【问题】　“1和2”操作为什么是平方数？

连续写偶数个1，再连续写位数为其一半的2，然后两数相减，所得的差是一个平方数。

例如，11-2＝9＝3²；1111-22＝1089＝33²；……

你能说明这是为什么吗？

【探求】　设2的位数为k（k＞0），则1的位数为2k。

同时，记连续k个1的值为m，记连续2k个1的值为c，记连续k个2的值为b，显然b＝2m，记其差为d＝c-b。

把c分为前后两段，每段k个1，显然低段即为m，高段为m×10^k，而10^k＝9m＋1，有

c＝m×10^k＋m＝m（10^k＋1）＝m[（9m＋1）＋1]＝9m²＋2m

d＝c-b＝（9m²＋2m）-2m＝9m²＝（3m）²

即所写两数之差为整数3m的平方，这里m为连续写k个1的值。

例如，k＝2时，1111-22＝（9×11²＋2×11）-2×11＝9×11²＝（33）²；

再如，k＝3时，111 111-222＝（9×111²＋2×111）-2×111＝9×111²＝（333）²。

【拓展】　“a和2a”操作是平方数吗？

（1）设计要点。

把“连续写偶数个1，再连续写位数为其一半的2”拓展为：连续写偶数个a，再连续写位数为其一半的2a。

为确保2a为一个数字，要求键盘输入a为1，2，3，4。

建立位数循环i（1≤i≤7），即最多生成2∗i＝14位。

循环中根据a生成b，c，并求其差。

连续写偶数个a：

c＝c∗100＋a∗10＋a；

再连续写位数为其一半的2a：

b＝b∗10＋2∗a；

判断其差d＝c-b是否为平方数，若是，则输出平方式。

（2）拓展程序设计。

（3）拓展程序运行结果。

由程序运行可知，“1和2”可得单数码平方数，同时“4和8”也可得单数码平方数。而当a＝2或3时，没有单数码平方数输出。

程序只设计到14位，实际上问题对位数没有限制。

1.3.2　数字同奇偶平方数

你见过各位数字都是偶数的平方数吗？或者你见过各位数字都是奇数的平方数吗？

给出以下5个数：

1448，56 163，127 452，15 773 579，242 888 426

请简单判断其中哪些平方数错了，并说明理由。

同学们各抒己见：

平方数的个位数字不可能为2，3，7，8，因而前3个不是平方数。

第4个数各位数字为奇数，第5个数各位数字为偶数，是不是平方数，意见不一。

那么，组成数字同奇偶的整数可能是平方数吗？

【命题1】　不存在各位数字全为奇数的多位平方数。（这里所说的多位平方数，是指2位或2位以上平方数。）

【证明】　设d＝a²，a为正整数，d为a的平方数。

若a为偶数，则d为偶数，其个位数字不为奇数。

若a为奇数，下面证明d的十位数字不为奇数。

不妨设a＝10k＋m，这时k为非负整数，m为一位奇数。则

若k＝0，则一位奇数m的平方m²为1²＝1，3²＝9，5²＝25，7²＝49，9²＝81，其中，后3个平方数为2位数，其十位数字均为偶数。

若k＞0，据式（1）知平方数d的十位数字为（10k²＋2km）与m²的十位数字之和的个位数字，注意到（10k²＋2km）为偶数，m²的十位数字为偶数，其和为偶数，即平方数d的十位数字为偶数。

因而证得：一个平方数如果至少有两位，其各位数字不可能全为奇数。

【命题2】　不存在各位数字都是偶数且其个位数字为6的多位平方数。

【证明】　假设d＝a²，d的各位数字均为偶数，其个位数字为6。

因为d的个位数字为6，则a的个位数字只能为6或4。

（1）设a＝10k＋6，这时k为非负整数，则

据式（2）知平方数d的十位数字为奇数（10k²＋12k＋3）的个位数字，显然为奇数，与各位数字均为偶数矛盾。

（2）设a＝10k＋4，这时k为非负整数，则

据式（3）知平方数d的十位数字为奇数（10k²＋8k＋1）的个位数字，显然为奇数，与各位数字均为偶数矛盾。

因而证得：一个多位平方数的各位数字都是偶数，其个位数字不为6。

注意到数字2与8不为平方数的尾数字，因而得：如果一个多位平方数的各位数字都是偶数，其个位数字只能为0与4。

【拓展】　搜索全为偶数数字组成且末位非0的n位平方数。

（1）编程要点。

设d＝a²，d的各位数字均为偶数，则（10a）²＝100d即为在d的尾部添加两个0，显然各位数字也符合要求。为了消除这种衍生状态，约定整数a的个位数字不为0。

计算最小的n位数10^（n-1）开平方取整数b，最大的n位数（10^n）-1开平方取整数c，以b＋1，c作为循环的初值与终值设置a枚举循环。

计算n位平方数d＝a∗a，通过求余（%）与整除（／）分离d（w＝d）的每一位数字k，若其中某一个数字k为奇数（k%2＞0），则标注t＝1返回。

若t＝0，说明平方数d中没有奇数数字，符合全偶数要求，则输出全为偶数数字的n位平方数d，并用变量e统计个数。

（2）程序设计。

（3）程序运行示例与说明。

我们注意到，搜索并输出的7位平方数各位数字全部为偶数，且其个位数字全部为4。因为个位排除了0，平方数的个位不可能为2，8，上面证明了各位数字全部为偶数的平方数的个位数不能为数字6，所以结尾为清一色的4。

1.3.3　优美平方数

称不含重复数字的完全平方数为优美平方数。

试在0，1，2，…，9这10个数字中指定排除m个数字，从其余10-m个数字选n个，组成没有重复数字的n位优美平方数。

从键盘输入位数n及指定排除数字个数m（m＋n≤10），并依次输入m个排除数字，输出所有满足以上要求的平方数（如果无须排除数字，则输入m＝0）。

1. 设计要点

从键盘输入指定位数n，指定排除数字个数m，若m＋n＞10则返回。

（1）枚举与分离。

把从键盘输入指定排除的m个数字存储到数组g[k]（k＝1~m）。

计算最小的n位数10^（n-1）开平方取整数b，最大的n位数（10^n）-1开平方取整数c，以b＋1，c作为循环的初值与终值设置a枚举循环。

计算d＝a∗a，显然d为n位平方数。

通过求余（%）与整除（／）分离d的每一位数字k，并用f[k]＋＋；统计数字k的频数。

（2）判别与输出。

若f[k]＞1（k＝0~9），说明数字k重复，标记t＝1。

用变量s统计f[g[k]]（k＝1~m）之和，若s＞0，说明平方数中含指定排除数字。

经以上测试，若t＝0且s＝0，说明平方数d中既没有重复数字，也没有指定排除数字，符合搜索要求，则逐个输出，并用变量e统计个数。

2. 程序设计

3. 程序运行示例与说明

以上7个7位优美平方数是排除数字2，3，9之后所剩7个数字全排列数的一个子集。

如果排除5个偶数数字，可验证不存在5位或5位以下全由奇数数字组成的平方数。

运行程序时如果输入n＝10，m＝0（即不排除任何数字），则输出10个由数字0~9组成的10位优美平方数。

运行程序，如果输入n＝9，m＝1，输入排除数字0，则输出30个由数字1~9组成的9位优美平方数。