2.8 图像的余弦变换

事实上，离散余弦变换（DCT）是从离散傅里叶变换（DFT）变换发展过来的。我们知道，若周期函数是实的偶函数，那么它的傅里叶变换中将只含余弦项，这对离散的情况也是适用的。

设f（i）（i=0，1，…，N-1）为一给定的序列，按下式将其延拓成偶对称序列：

令i1=i+1/2，新序列fT（i1）=fe（i+1/2）以i1=0为对称中心，对其进行离散傅里叶变换：

式中，FT（k）表示对应的傅里叶变换。

由DFT的性质可知，FT（k）是对称序列，取其一半作为序列fe（i）的一半f（i）的离散余弦变换，得到

对变换核归一化后的结果为

其矢量形式为

F=CN×Nf

其中

矩阵CN×N显然是正交矩阵，据此很容易写出其逆变换为

其二维DCT形式是一维DCT的扩展。我们知道，对二维DFT，可以首先对行进行一维变换然后再对列进行一维变换，这同样适用于二维DCT。据此可以写出二维DCT变换的表达式为

写成矩阵的形式为

其逆变换为

f=C′M×M[F]CN×N

其中