2.2　毕达哥拉斯学派

简史

（1）毕达哥拉斯

☆毕达哥拉斯创造了哲学（意为爱智慧）和数学（意为可学到的知识）两个词，提出了四元素说（物质由水、火、土、气四元素构成，每种元素又由四种基本物性：冷、热、温、燥两两组合而成），认为大地是个球体，宇宙是围绕一个中心火构成的，提出了“四艺”（几何、天文、音乐、算术）的说法等。

☆大量使用了数学证明，促进了经验几何向演绎几何发展。

☆证明了勾股定理。

☆发现了五种正多面体。

☆第一次研究了直线形面积的变换。

☆给出了一元二次方程的几何解法。

☆证明了代数恒等式：（a+b）2=a2+2ab+b2。

☆发现了不可公度问题，引出了无理数。

☆提出万物皆数思想。毕达哥拉斯认为世间万物都有数，都可以用数来表示。

☆深入研究了正整数，奠定现代数论基础。提出了奇数和偶数的概念，区分了自然数。提出了因子概念，由此提出了完全数、过剩数、不足数和亲和数的概念。

☆提出并研究了形数。

（2）其他

☆毕达哥拉斯学派的代表人物还有希波克拉底（公元前460年左右）、希帕索斯等。

导图

人物小史与趣事

毕达哥拉斯（Pythagoras）

毕达哥拉斯（公元前572～公元前497年），古希腊著名哲学家和科学家。生于小亚细亚的萨摩斯岛，年轻时曾游学于古埃及和古巴比伦，可能还到过古印度，之后回到大希腊的克洛托内（现在意大利的东南部），建立了一个学术团体——毕达哥拉斯学派，全心致力于哲学和数学研究。

☆劈柴的故事

有一天，小毕达哥拉斯背着一捆劈柴在街上走。一位绅士看见了他，觉得那捆劈柴的组合方式很高明。绅士心想，这种组合是少年有意精心安排的，还是无意中摆成的。于是他叫住小毕达哥拉斯，“过来，过来！能为我办点儿事吗？不是很麻烦，只是请你把这捆劈柴放下，把柴棍捣乱，然后重新堆摆起来，行吗？”

毕达哥拉斯纳闷，“这人真怪，竟提出这样的请求！”但他还是照绅士的话去做了。他放下柴捆，把劈柴捣乱，然后重新把它们组合起来。

绅士看到，这位少年堆摆劈柴的方法的确高明，令人钦佩，于是对小毕达哥拉斯说：“你想钻研学问吗？为什么不试试呢？”

据说，在这位绅士的鼓励下，毕达哥拉斯离开了萨摩斯岛，拜泰勒斯为师。也有人说，毕达哥拉斯并不是泰勒斯的弟子，他的老师是阿那克西曼德。

但不管怎样，有一点可以肯定的是：毕达哥拉斯从老师那儿学到了大部分当时已被人们掌握的数学知识。而后遵照老师的劝告，去古埃及留学。据说在留学期间，毕达哥拉斯还访问过古巴比伦王国。

☆“百牛祭”的故事

据传，毕达哥拉斯发明了勾股定理后，破例杀了100头牛，举行“百牛祭”，邀请全城的人庆祝。在这次祭会上，毕达哥拉斯发表了演讲，向人们描绘了一幅画面：由数产生点，由点产生线，由线产生出平面图形，由平面图形产生出立体图形，由立体图形组成的一切物体产生出水、火、土、空气四种元素。这四种元素以各种不同的方式相互转化，并创造出有生命的、有精神的、球形的世界。认识世界，就是要认识支配世界的数。

☆铸币的故事

毕达哥拉斯在克罗通时，曾经设计过一种铸币。

铸币的正面有阳文的本城的纹章，圆周形的边纹有城名的几个主要字母；另一面是同样的图案，但为阴文。

这些铸币体现了毕达哥拉斯关于“宇宙上下两方和中央所处的地位关系是相同的，只是彼此相反”的观点。

☆数学家眼中的大理石地砖

有一次，毕达哥拉斯应邀参加一位政要的餐会。

主人家里非常富有，豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖。

由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言，而善于观察和理解的数学家毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形地砖。

他不只是欣赏地砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系。于是，他拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块地砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块地砖的面积和。

对此，他很好奇。于是，他再以两块地砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，并发现这个正方形之面积等于5块地砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。

至此，毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和……

那场餐会，这位古希腊数学大师的视线一直都没有离开过地面。

☆毕达哥拉斯身世的传说

他的最初前世被认为是赫尔墨斯的儿子，叫Aethalides。赫尔墨斯允许他可以选择除不朽之外任何他所喜欢的能力，于是此人要求无论在生前或死后都保持对自己经历的记忆。这就是毕达哥拉斯的第一代，一个半神半人的人物。这个人在古希腊的传说中有点名气，锡罗斯的弗瑞西德斯（Pherecydes）在《五籁集》“Fivechasm”中提到过他。

他的第二世身处英雄时代，叫Euphorbus。此人参与了特洛伊战争，被阿伽门农的兄弟Menelaus所伤，Menelaus就是海伦的丈夫。此后，他的灵魂还有上天入地的飘游经历，进入过好多植物和动物，还去过哈得斯（Hades），也就是冥界。

第三世是个普通人，叫Hermotimus。他对自己的记忆已经不怎么肯定了，于是去了阿波罗神庙，在那里他认出了Menelaus从特洛伊返航路上献祭给阿波罗的盾牌。这块盾牌除了正面的象牙以外，其他部分差不多都朽烂了。到了他的这一代，记忆已经多少有点问题，最终他借助于过去时代的器物恢复了自己记忆的完整。

第四代是一个渔夫，叫Pyrrhus。他的地位又低下了一些，只能靠自己的劳动力谋生。此人死后哲学家毕达哥拉斯出生了，毕达哥拉斯可以认为是第五代。

☆毕达哥拉斯与黄金分割

毕达哥拉斯的黄金分割——a:b=（a＋b）:a。

一天，毕达哥拉斯路过一个铁匠作坊，听到里面叮叮当当的声音，觉得十分悦耳。于是，他便用工具测量了铁锤与铁砧的尺寸，并发现它们之间有一定的比例关系。

回到家里，他把一条直线段分为两节，经过反复比较，最后终于确认1:1.618的比例最优雅，其比值为0.618的近似值，称之为黄金比例。

毕达哥拉斯学派认为由太阳、月亮、星辰的轨道和地球的距离之比，分别等于三种主要的和音，即八音度、五音度、四音度。

毕达哥拉斯学派认为从数量上看，夏天是热占优势，冬天是冷占优势，春天是干占优势，秋天是湿占优势，最美好的季节则是冷、热、干、湿等元素在数量上和谐的均衡分布。

毕达哥拉斯学派从数学的角度，即数量上的矛盾关系列举出有限与无限、一与多、奇数与偶数、正方与长方、善与恶、明与暗、直与曲、左与右、阳与阴、动与静十对对立的范畴，其中有限与无限、一与多的对立是最基本的对立，并称世界上一切事物均还原为这十对对立。

☆博学的几何教师

传说毕达哥拉斯是一个非常优秀的教师，并且他认为每一个人都应该懂些几何。

有一次，他看到一个勤勉的穷人甲，他想教甲学习几何知识。因此，他对甲建议：如果甲能学懂一个定理，那么他就给甲一块钱币。甲看在钱的份上就和他学几何了。

可是，过了一个时期，甲对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些。甲建议：如果老师多教一个定理，他就给老师一个钱币。

没用多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。

☆“完美”的6

毕达哥拉斯建立“毕达哥拉斯兄弟会”，崇拜整数、分数为偶像。

他们认为通过对数的了解，可以揭示宇宙神秘，使他们更接近神，事实是一个宗教性社团组织。入会时需宣誓不得将数学发现公之于世，甚至在毕达哥拉斯死后，有成员因公开正十二面体可由12个正五边形构成的发现而被迫浸水致死。他们集中注意于研究自然数和有理数，特别是完美数，它是本身正因子（除了本身之外）之和，例如，6=1＋2＋3、28=1＋2＋4＋7＋14。他们认为上帝因为6是完美的，因此选择以6天创造万物，且月亮绕行地球一周约28天。

☆创办“学校”

毕达哥拉斯长期留学古埃及之后，返回故乡萨摩斯岛。他原打算在萨摩斯岛上建立学校，但没有成功。于是他迁居克罗顿，在那儿创办了一所学校。但这所学校实际上是一个宗教集团或公会，宗旨是加强团结。

在这个“学校”内，严禁把内部教学的内容和内部得到的发现泄露给外人，而且“学校”的发现都归于毕达哥拉斯名下。因此，如今人们认为是毕达哥拉斯发现的东西，其中究竟哪些是他本人的发现，哪些是毕达哥拉斯学派的发现，根本无法区别。

毕达哥拉斯创设的这所学校曾光荣一时，但后来由于过问政治，引起反对派的憎恨。最后学校遭到烧掠袭击而消失。

☆毕达哥拉斯之死

毕达哥拉斯很少公开露面，他虽然向学生教授数学和哲学，但绝不允许学生将之外传，正因为“毕达哥拉斯兄弟会”隐瞒数学发现，渐渐引起居民的畏惧、妄想和猜忌。

后来，学派介入了政治事件，与当地行政当局发生冲突，终于诱使居民毁了这一学派。

近80岁时，毕达哥拉斯在一次夜间骚乱中被杀害。而避居国外的信徒继续传播他们的数学真理。

希波克拉底（Hippocrates）

希波克拉底（约公元前460～公元前377年），古希腊伯里克利时代医师，被西方尊为“医学之父”。其所身处的上古时代，医学并不发达，然而他却能将医学发展成为专业学科，使之与巫术及哲学分离，并创立以之为名的医学学派，对古希腊的医学发展贡献良多。希波克拉底提出“体液学说”，他的医学观点对以后西方医学的发展有巨大影响。另外，希波克拉底也是位数学家，他用勾股定理得到了弓形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比，促进了三大作图问题之一的“化圆为方”的研究。

☆扑灭瘟疫的故事

公元前430年，雅典发生瘟疫，许多人突然发烧、呕吐、腹泻、抽筋、身上长满脓疮、皮肤严重溃烂等症状。患病的人接二连三地死去。没过几日，雅典城中便随处可见来不及掩埋的尸首。对这种索命的疾病，人们唯恐避之不及。

但此时希腊北边马其顿王国的一位御医却冒着生命危险前往雅典救治。他一面调查疫情，一面探寻病因及解救方法。不久，他发现全城只有一种人没有染上瘟疫，那就是每天和火打交道的铁匠。他由此设想，或许火可以防疫，于是在全城各处燃起火堆来消灭瘟疫。

这位御医就是被西方尊为“医学之父”的古希腊著名医生希波克拉底。

☆“希波克拉底臼床”的故事

有一天，希波克拉底碰到一个巫医在给骨折病人治病。病人右腿被车轮辗断，已昏死过去，受伤的部位鲜血淋淋。但巫医还硬叫家属扶着病人用左腿跪在神像前，他自己则念念有词，不知在说些什么。

希波克拉底实在看不下去了。他气愤地走上前说道：“靠念咒语怎能治好他的伤呢？这简直是在折磨病人，简直太荒唐了！”

巫医不屑一顾地说：“看来你会治伤啊，那好，你说他的伤怎样治？”

“清洗创口，进行牵引，使断骨复位！”

希波克拉底对骨折病人提出的治疗方法是合乎科学道理的。为纪念他，后人将用于牵引和其他矫形操作的臼床称为“希波克拉底臼床”。

☆癫痫症的故事

一天，希波克拉底在市场上见到一个人突然神志丧失，全身抽动，面色青紫，嘴里还吐出泡沫。周围的人都惊慌失措地喊道：“这人中了邪啦！快去请巫师来！”

正好有个僧侣经过这里，有人马上拖他来治病。僧侣看了看病人，板起面孔说：“啊！这人得了神病，要请神来宽恕他。快把他抬到神庙里去！”

“慢着！”希波克拉底抢上一步喊道，“这人患的根本不是什么神病，而是癫痫症！把他抬到神庙去，是治不好病的！”

那僧侣向希波克拉底瞪了一眼，高傲地说：“什么癫痫不癫痫的，这人的病是山神引起的，只有祈祷山神才有用。你懂什么？小心别惹怒了山神，让你也患上神病！”

希波克拉底毫不示弱地说：“这癫痫症一点也不比其他疾病神秘，而是同其他疾病一样，具有相同的性质和相似的起因。只有魔法、江湖术士和骗子之流，才把它说成是什么神病！”

“你竟敢当着这么多人的面咒骂山神！好，你说这病不是山神引起的，那是什么引起的？”

“是脑引起的！”希波克拉底斩钉截铁地回答说，“我相信这是脑子出了问题，才变成这个模样的。”

现代医学认为，癫痫是一种突然发作的暂时性大脑功能紊乱的病症。希波克拉底指出的病因是正确的；他提出的这个病名也一直沿用到今天。但是，他的科学解释在当时不可能被人们理解和接受。在僧侣的催促下，那病人还是被抬到神庙里去了，没有得到有效的治疗。

希帕索斯（Hippasus）

希帕索斯（生卒年月不详），生活于大约公元前500年。他是发现无理数的第一人，毕达哥拉斯的得意门生。希帕索斯发现等腰直角三角形的直角边与斜边的比不是有理数，举出了当时毕达哥拉斯学派“一切量都可用有理数表示”的一个反例。

☆“第一次数学危机”的故事

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为数最崇高、最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，即宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，它的对角线长度（√2根号2）却不能用整数之比来表达。这就触犯了该学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在（即无理数）的秘密。天真的希帕索斯无意间向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把该事件称为“第一次数学危机”。