2.2 PID运算电路

如上所述，调节器是对偏差信号进行比例、积分、微分等运算的装置，因而是一种具有特定传递函数的装置。而我们知道，要精确实现某一传递函数，最方便的方法是使用高增益的运算放大器，借助于深度负反馈，可使其闭环传递函数等于其输入回路与反馈回路传递函数之比，例如，在图2-1中，若A（s）为运算放大器的传递函数，Gi（s）、Gf（s）为其输入及反馈网络的传递函数，则闭环传递函数

当放大器的增益A足够大时，若A（s）Gf（s）≫1，则式（2-6）可近似为

这个闭环系统的传递函数完全由输入和反馈回路的内容决定，而与放大器本身的参数无关。由于输入和反馈电路是由R、C等无源元件组成的，故闭环传递函数可以做得十分稳定和精确。在一定的范围内，即使放大器的增益有些变动，特性有些非线性等，都不会对运算精度有太大的影响。因此，目前使用的调节器，无论是电动的还是气动的，都是采用这种方法构成的。

采用这种方法构成调节器时可使用标准运算放大器，只需改变输入或反馈电路的内容，便能获得不同的调节规律，构成不同类型的调节器，给仪表制造带来很大的方便。下面具体讨论使用这种原理组成调节器的方法。

2.2.1 比例积分运算电路

图2-2是一个比例积分运算电路，这里RI、CI组成输入电路，CM为反馈元件，输入电压Vi和输出电压Vo都是以电压VB为基准起算的，VB可以为0，也可以不等于0。在使用集成运算放大器时，为了能给放大器以单电源供电，而又不使其输入、输出电压超出允许变化范围，常采取电平移动措施，将输入、输出电压都变为对基准电平VB起算的电压。后面的分析将可看到，当输入、输出电压都以运算放大器的同相输入端电平VB为基准时，VB的数值不影响Vo与Vi之间的运算关系。

在图2-2中，根据放大器的基本分析方法，由于放大器的增益很高，故其同相输入端与反相输入端电压之差V+-V-=Vo/A≈0，即V+≈V-。又考虑到放大器的输出阻抗很小，可以忽略；其输入阻抗很高，偏置电流很小，可当作开路。则可写成

Ii+If=0

又

代入上式，得

输出电压Vo与输入电压Vi之间具有比例积分运算关系。其实，这一结论不难从图2-2上直接看出：输入信号可看作分两路进入，故输出应为两路输入分别作用之和。由于输入电阻RI与反馈电容CM构成积分运算电路，输入电容CI与反馈电容CM构成比例运算电路，当两条输入支路同时作用时，其输出与输入之间必然是比例加积分的运算关系。

从式（2-8）看，若t=0时，给调节器输入一个阶跃信号，如图2-3所示，其输出在t=0+立即有一个体现比例动作的跃变

此后，Vo将随时间线性增长，体现对输入信号的积分作用，其增长速率为，每过一个时间间隔Ti=RICI，输出便增加一个的数值，即增加一个比例作用的效果。工程上，把Ti=RICI称为调节器的积分时间。Ti愈小，由积分作用产生一个比例调节效果的时间愈短，即积分作用愈强。反之，Ti愈大，积分作用愈弱。式（2-8）中，比值CI/CM的大小反映了比例调节作用的强弱，称为比例增益。工程上习惯使用它的倒数作为整定参数，称为比例度。

比例度P是一个无因次量，它表示在只有比例作用的情况下，能使输出量作满量程变化的输入量变化的百分数。比例度又称为比例带宽度（Proportional Band）。

必须指出，上面的分析是粗略的，是把放大器当作理想放大器处理的。实际上，放大器的增益总是有限的，所以输入端电压V+-V-≠0。对放大器的反相输入端，可使用克希霍夫第一定律，∑i=0，写出输入、输出量拉普拉斯变换式较精确的关系

式中，Vi（s）和Vo（s）分别表示Vi和Vo的拉普拉斯变换式。

对运算放大器，又可写出

Vo（s）=-AV-（s）

代入上式，化简得

因，故上式可以写成

由此式可知，当放大器的放大倍数A为有限值时，由于分母上有一项，其积分作用不是理想的。

用拉普拉斯反变换可求出输出电压Vo的阶跃响应

在t→∞时，输出不会无限增长，而是趋于一个确定的极限值，即

Vo（t→∞）=-AVi

Vo（t）的变化过程为图2-4所示的指数曲线。当t≪ARICM时，指数曲线的起始段可用泰勒级数近似展开为

考虑到，可进一步近似化简为

上面的分析表明，当放大器的增益A为有限值时，积分输出的幅度是有限的，其实，这一结论是不难理解的，所谓积分过程就是反馈电容的充电过程。当充、放电过程结束时，反馈电容可以看作开路。这样，其稳态输出的最大值为输入电压的A倍。

严格地讲，在系统中使用比例积分调节器后，只能大大减小而不能完全消灭静差。为此，使用积分增益Ki衡量引入积分调节作用后，静差减小的倍数，Ki定义为

显然，积分增益Ki愈大，调节静差愈小。在国产DDZ—Ⅱ型调节器中，规定Ki必须大于180。在DDZ—Ⅲ型中，由于采用集成运算放大器，积分增益很容易做到104～105，故使用这种调节器时，静差可以忽略不计。

使用符号Ki和Ti后，式（2-10）表示的比例积分调节器的传递函数可写成

2.2.2 比例微分运算电路

从数学上看，只要将图2-2中的反馈电容CM换成电阻，便可获得比例微分的运算关系。但从减小冲击和抑制噪声来说，使用图2-5所示的比例微分电路更为有利，DDZ—Ⅲ型仪表中的调节器就是采用这个方案。

图2-5比例微分电路由前后两部分组成，前半部分由RD、CD及分压器构成无源比例微分电路，后半部分是运算放大器组成的同相比例放大器。由于运算放大器在同相输入工作方式下输入阻抗极高（约等于差模输入阻抗乘以放大器的开环增益），故前后两部分可认为是独立的，可分别进行研究。在分析得出前半部分电路运算关系后，只要乘上后面的比例放大器的放大倍数α，便可得到整个比例微分电路的运算关系。

为此，将无源比例微分电路单独研究，如图2-6所示，各点电压都以电平VB起算。可以先从物理概念定性地讨论它的输入与输出关系，若Vi为阶跃输入，则在t=0+时，由于电容CD两端电压不能突变，V+的变化值全部被传递到输出，故V+有一等值的突变。此后CD逐渐充电，电容两端电压慢慢增加，于是V+逐渐下降；当充电结束时，CD相当于断路，输出电压V+完全由分压器决定，即V+（t=∞）=。

其中间的变化过程可通过其传递函数得出。考虑到分压器的上下两段电阻都比电阻RD小得多，计算时分压器可以只考虑其分压比，而不计其输出阻抗。这样

式中，Id是电容CD的充电电流

代入前式化简得

当Vi为阶跃输入时，V+的变化过程可由拉普拉斯反变换求出

V+的阶跃响应示于图2-6（b）。它可以看作是由两个分量合成的：一个是与输入信号成比例的项，另一个是反映输入信号微分作用的项。

从数学上说，理想的微分运算器在输入阶跃信号时，其输出为高度无穷大、宽度无穷小的脉冲。工程上不欢迎那种数学算式上理想的微分校正，而宁愿使用图2-6这样有限制的微分装置。因为使用数学算式上理想的微分器，在调节系统出现阶跃偏差时，调节器的输出将会出现脉冲式地变化，输出一下子冲到极限值，而一瞬间又完全消失。这样，在调节器后面的执行器和调节对象根本来不及反应，得不到应有的效果。相反，它还会起坏的使用，因为调节系统中难免有高频干扰存在（如检测仪表的输出中总包含有电源纹波和电路噪声），这些高频分量经过微分运算，可能使调节器产生很大的脉动输出，甚至使调节器中放大电路完全饱和而不能工作。基于上述理由，必须对微分作用加以一定的限制。图2-6的电路就是实用的、有限制的比例微分电路，在阶跃信号输入时，输出的微分幅度是受限制的，但微分作用的时间被延长，这种“温和的”微分作用能较好的满足自动控制的需要。

调节器微分作用的强弱总是通过与比例作用相比较来衡量的。工程上把阶跃输入作用下，比例微分调节器输出的最大跳变值与单纯由比例作用产生的输出变化值之比，称为微分增益Kd。在图2-6中，微分增益Kd=n。一般调节器中，Kd取5～10。

这样，图2-5所示的比例微分电路的传递函数可写出为

如前所述，n为微分增益Kd，若令Td=nRDCD称为微分时间，则上式可写成

整个电路的阶跃响应可由上式拉普拉斯反变换求出，也可将式（2-15）乘以α得到

此阶跃响应如图2-7所示。微分增益Kd愈大，则微分幅度与比例作用相比倍数愈大。微分部分按时间常数Td/Kd的指数曲线衰减，当t=Td/Kd时，微分部分衰减掉63%。在调节器校验时，常用这一关系测定微分时间Td。

2.2.3 PID运算电路

将图2-2的比例积分电路与图2-5的比例微分电路串联起来，便可得到比例积分微分电路如图2-8所示。其传递函数可由前后两部分传递函数相乘而得，如图2-9所示。串联后的传递函数

考虑到上式中，可忽略，若令，，则上式可化为

分母中一项是为了限制微分幅度而引入的，一项是由积分放大器的增益有限而引入的。若Kd和Ki都比较大，那么，为便于掌握基本概念，可暂不考虑分母中的这两项。这样式（2-16）可近似为

这就是典型的PID调节器的传递函数。若Td≪Ti，则F=1，上式可进一步变为式（2-5）所表示的理想的PID调节器的传递函数。

这里大于1的常数叫做干扰系数。F≠1反映了用PI、PD串联运算获得PID调节规律时，在整定参数上相互干扰的情况。由于输入信号先经比例微分运算后，再作一次比例积分运算时，比例作用的成分增大了，因而实际上改变了微分时间和积分时间的数值。式（2-17）说明，这个调节器实际的比例度由P变为P/F，实际的微分时间由Td变为Td/F，实际的积分时间由Ti变成FTi，若令：

实际的比例度用P*表示，则

实际的微分时间用Td*表示，则

实际的积分时间用Ti*表示，则Ti*=FTi

这样，式（2-17）可写成

对使用者来说，总希望调节器各参数的设置是互相独立、互不影响的。但上面的讨论说明，由于干扰系数F的存在，无论改变Td或Ti中哪一个，会通过干扰系数，使三个整定参数的实际值都发生变化，造成调节器整定参数的刻度无法准确。例如，当Ti/Td=4时，干扰系数F=1.25，各参数的实际值将与F=1时相差25%。

实现比例、积分、微分运算的电路不限于上面讨论的一种，在廉价的仪表中，有时简化电路，只用一个放大器来实现PID运算，这时可把无源微分电路和无源积分电路直接串联后，接在运算放大器的反馈回路上，同样能完成比例、积分、微分运算，只是参数的干扰系数比上面用两个放大器实现时更大一些。