2.4 求直线的实长和平面的实形

一、直线的实长及其对投影面的倾角

由于一般位置直线的投影在投影图上不反映直线的实长和对投影面的倾角，但在工程上常要求在投影图上用作图的方法解决这类度量问题。求作直线的实长和对投影面的倾角的方法有3种：直角三角形法、换面法和旋转法。

1.直角三角形法

如图2-30所示，AB是一般位置直线，过A作AB0//ab，得一直角三角形ABB0，它的斜边AB为其实长，AB0＝ab，BB0为两端点A、B的Z坐标差（ZB-ZA），AB与AB0即为AB对H面的倾角。由此可见，根据一般位置直线AB的投影，求实长和对H面的倾角，实际上就是求直角三角形ABB0的实形。

求作直线AB的实长和对H面的倾角α可用下列两种方法，如图2-30（b）所示。

（1）以H面投影ab为一直角边，过b作ab的垂线bB0，量取bB0＝ZB-ZA，则aB0即为所求直线AB的实长，为倾角α。

（2）过a′作X轴的平行线，与b′b相交于b0（b′b0＝ZB-ZA），在a′b0的延长线上量取b0A0＝ab，则b′A0也是所求直线AB的实长，为倾角α。

同理，要求作直线AB对V面的倾角β时，过A作AB1//a′b′，得另一直角三角形ABB1，如图2-30（a）所示，一直角边AB1＝a′b′，另一直角边BB1＝YB-YA。可在V面投影上作出此直角三角形的实形a′b′A0，如图2-30（c）所示。A0b′为直线AB的实长，∠a′b′A0为直线AB对V面的倾角β。

例4：已知直线AB的V、H面投影，求出直线AB上距A点15mm的C点的两投影（如图2-31所示）。

分析：因为AB为一般位置直线，不能在它的两面投影上直接确定C点，必须先作出AB的实长，在实长上定出C点，再返回到AB的两面投影上。

作图步骤如下：

①以V面投影a′b′为一直角边，过a′作a′A1⊥a′b′，量取a′A1＝YB-YA，连线A1b′＝AB。

②在A1b′上自A1点量取15mm得C1点。

③过C1点作A1a′的平行线a′b′交于c′，并由c′作出c。

2.换面法

如图2-32（a）所示，一般位置直线AB的两面投影不反映实长，也不反映直线对投影面的倾角。如果用一个平行于直线AB的新投影面V1代替原来的投影面V，则AB在V1面上就能反映实长和对H面的倾角α。这种通过变换投影面使空间的直线或平面在新投影面上处于有利于解题的特殊位置的方法称为变换投影面法，简称换面法。

必须注意：新投影面必须垂直于被保留的投影面H，X1为新投影轴。这时，原来的投影a、b与V1面上的新投影a′1、b′1的投影连线aa′1⊥X1、bb′1⊥X1。并且a′1、b′1到X1的距离等于被代替的投影a′、b′到被代替的投影轴X的距离，即a′1aX1＝a′aX＝Aa＝ZA，b′bX1＝b′bX＝Bb＝ZB。

用换面法求作一般位置直线的实长和对H面的倾角α，作图步骤如图2-32（b）所示：

①在适当位置作新投影轴X1//ab。

②分别过a、b作新投影轴X1的垂线aaX1、bbX1，并在其延长线上分别量取aX1a′1＝a′ax，bx1b′＝b′bx。

③连接a′1b′1，即为直线AB在V1面上的新投影。

根据投影面平行线的投影特性可知，AB的新投影a′1b′1反映直线AB的实长，其与X1轴的夹角反映AB对H面的倾角α。

例5：已知直线CD的两面投影cd和c′d′，求作CD的实长及其对V面的倾角β（如图2-33所示）。

分析：求作直线的实长及其对V面的倾角β，可用变换H面的方法，即以H1面代替H面，使H1面垂直于V面，且平行CD，则CD成为H1面的平行线，其实长和倾角β可在CD的新投影中反映。

作图步骤如下：

①在适当位置作新投影轴x1//c′d′。

②分别过c′、d′作x1轴的垂线，并量取cx1c1＝cxc，dx1d1＝dxd。

③连接c1d1，则c1d1＝CD，c1d1与x1轴的夹角即为所求倾角β。

3.旋转法

如果投影面保持不变，而将空间的直线或平面绕一指定轴旋转，使该直线或平面对投影面处于有利于解题的位置，这种投影变换的方法称为旋转法。这里仅介绍以投影面垂直线为旋转轴时的情况。

如图2-34（a）所示，以过A点的铅垂线为旋转轴，将一般位置直线AB旋转到与V面平行的位置，这时A点的位置不变，将B点旋转到B1的位置，使AB1平行于V面，则AB在V面上的新投影a′b′1即为实长，a′b′1与水平线的夹角为直线对H面的倾角α。

必须注意：当B点绕铅垂线为轴旋转时，其轨迹为一水平圆。B点的轨迹圆周在H面上的投影是以a为圆心，ab＝O1B为半径的一个圆，在V面上的投影为一平行于X轴的水平线。当B点旋转到B1位置时，其H面投影是以a为圆心，ab为半径的一段圆弧，而其V面投影则沿平行于X轴的水平线上移动，由b′移动到b′1的位置。

用旋转法求作一般位置直线AB的实长及对H面的倾角α，作图步骤如图2-34（b）所示：

①以a为圆心，ab为半径作圆弧，将b旋转到b1，使ab1//X轴。

②自b1作X轴的垂线，自b′作X轴的平行线，相交得b′1。

③连a′b′1即为AB的实长，。

图2-34（c）所示为以过C点的正垂线为轴用旋转法求作直线CD的实长及其对V面的倾角β的作图方法。

二、求作投影面垂直面的实形

求作投影面垂直面的实形，可以用换面法或旋转法，如图2-35（a）所示，△ABC为铅垂面，作新投影面V1平行于△ABC，则△ABC在V1面上的投影反映实形。由于已知平面垂直于H面，因此，所作新投影轴X1必与已知平面的积聚性投影平行。

作图步骤如图2-35（b）所示：

①在适当位置作新投影轴X1//abc。

②求出△ABC各顶点的新投影a′1、b′1、c′1，并连成△a′1b′1c′1即为所求。

如果已知平面是正垂面，则应变换H面，在新投影面H1上求作实形。图2-36所示为求作正垂面（圆）的实形的作图方法。

图2-37所示为圆柱被正垂面P截得椭圆ABCD，长轴是正平线AB，短轴是正垂线CD。为了画出椭圆的实形，在正垂面P上，以过B点的正垂线为旋转轴，将正垂面P旋转至水平面P1上的位置，P1为水平线，P面上的椭圆也旋转至P1面上的A1C1BD1。在V面上的新投影a′1c′1b′d′1积聚在P1上，在H面上的新投影a1c1bd1反映实形。

作图步骤如图2-37所示。

①过b′作水平线P1，以b′为圆心，将a′、c′（d′）旋转到P1上。

②由a、c、d作水平线，并由a′1、c′1（d′1）按投影关系在相应的水平线上作出a1、c1、d1，以a1b为长轴，c1d1为短轴作椭圆，即为椭圆实形。