2.2 点、直线、平面的投影_汽车机械制图-QQ阅读中文短篇网

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2.2 点、直线、平面的投影

点是组成物体的最基本的几何元素。因此，研究形体的投影问题应从点开始。点在立体中常以三直线（或三平面）相交的交点形式出现，如图2-10中立体中A、B、C、S都是三条直线的交点。

图2-10 立体上的点

一、点的投影

1.点的投影特性

设在空间有一点S，由该点分别向H、V、W面引垂线，则垂足s、s′、s″即为点S的三面投影，如图2-11（a）所示。移去空间点S，将投影面展开，即得点S的三面投影图，如图2-11（b）所示。图中sX、sY（sYH、sYW）、sZ分别为点的投影连线与投影轴X、Y、Z的交点。

由空间点S得到其三面投影s、s′、s″的过程，可总结出点的投影规律：

①点的两面投影的连线必定垂直于相应的投影轴，即：ss′⊥OX，s′s″⊥OZ，ssYH⊥OYH，s″sYW⊥OYW。

②点的投影到投影轴的距离，等于空间点到对应投影面的距离，即：s′sX＝s″sYW＝Ss，ssX＝s″sZ＝Ss′，ssYH＝s′sZ＝Ss″。

图2-11 点的三面投影

点的空间位置可用直角坐标来表示，即把投影面当做坐标面，投影轴当做坐标轴，三个轴的交点O即为坐标原点。从图2-12可以看出，空间点A到W面的距离Aa″平行且等于OX轴上的线段OaX。把OaX叫做A点的X方向坐标，并以x表示其大小。对其他两个方向作类似的推导，即可得出下面的坐标与距离的关系：x＝OaX＝Aa″，y＝OaY＝Aa′，z＝OaZ＝Aa。

图2-12 点的投影与直角坐标的关系

由此可见，空间点的位置可由点的坐标（X，Y，Z）确定，点的空间位置、点的投影与其坐标值是一一对应的。因此，可以直接从点的三面投影图中量得该点的坐标值。反之，根据所给定的点的坐标值，可按点的投影规律画出其三面投影图。

例1：已知点B（15，10，20），求点B的三面投影图。

分析：由点B（15，10，20）可知，点B与三个投影面均有距离，即点B是既不在投影面上、也不在投影轴上的一般点。

作图步骤如下（如图2-13所示）：

①画投影轴并标记，在OX轴上从O点向左量取15，定出bX，如图2-13（a）所示。

②过bX作X轴的垂线，在此垂线上向下量取10得b，向上量取20得b′，如图2-13（b）所示。

③由b、b′再作出b″，即得点B的三面投影图，如图2-13（c）所示。

2.两点的相对位置

根据两点的各个同面投影（即在同一投影面上的投影）之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置，因为在投影图中，空间两点的相对位置是由它们的各个同面投影所反映的坐标差来确定的，如图2-14所示。

图2-13 已知点的坐标求作投影图

图2-14 两点的相对位置

例如，判断A（20，15，10）和B（15，20，30）两点的相对位置。两点的左、右位置由X坐标差确定，X坐标值大者在左，故点A在点B的左方；两点的前、后位置由Y坐标差确定，Y坐标值大者在前，故点A在点B的后方；两点的上、下位置由Z坐标差确定，Z坐标值大者在上，故点A在点B的下方。即点A在点B的左、后、下方。或者说，点B在点A的右、前、上方。

在图2-15所示C、D两点的投影中，水平投影c和d重合，这说明C、D两点的X、Y坐标相同，即C、D两点处于对H面的同一条投射线上，它们的水平投影重合在一起。故点C点D称为对H面的重影点。

图2-15 重影点的投影

由此可知，一对有两个坐标分别相同的点，必然有一组同面投影重合。这样一对空间点，称为对该投影面的重影点。重影点的一组同面投影重合，称为重影。也就是说，一对重影点必然在它们相同的两个坐标所确定的投影面上重影。

由于一对有一组同面投影重合，在对该投影面投射时，存在一点遮住另一点的问题，即重合的投影存在着可见不可见的问题。重影点的可见性需根据这两点不重影的投影的坐标值大小来判别。

例如，在图2-15中，c、d重合，但正面投影不重合，且c′在上，d′在下，即zC＞zD。所以对H面来说，c可见，d不可见。在投影图中，对不可见的点，需加圆括号表示。在图2-15中，对不可见点D的H面投影，加圆括号表示为（d）。C、D的相对位置描述为：C在D的正上方，或D在C的正下方。

二、直线的投影

常见的直线是平面立体的棱线，即两平面的交线，如图2-10中SA、SB等。

1.直线的投影特性

直线的投影一般仍是直线，如图2-16（a）所示。特殊情况下，直线的投影可积聚成一点，这种性质称为积聚性，如图2-3（b）所示。

根据直线的基本性质可知，两点确定一直线，把直线上两点的同面投影相连，便可得到直线的投影。由此，可得出求作直线三面投影图的步骤：

①求出直线两端点的三面投影，如图2-16（b）所示。

图2-16 直线两端点的三面投影

②用直线连接两端点的各同面投影，即得直线的三面投影，如图2-16（c）所示。

根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：①一般位置直线；②投影面平行线；③投影面垂直线。后两类统称为特殊位置直线。

直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角，在本书中分别用α、β、γ表示，如图2-17所示。

图2-17 直线与投影面的倾角

（1）一般位置直线及其投影特性

对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。如图2-18所示的直线是一般位置直线，因为直线段的两端点到各投影面的距离都不相等，所以它的三面投影都与投影轴倾斜，并且均小于线段的实长。另外，直线的各面投影与投影轴的夹角也不反映空间直线与各投影面的倾角。

图2-18 一般位置直线的投影

（2）特殊位置直线及其投影特性

①投影面垂直线：垂直于一个投影面（必与另两个投影面平行）的直线，称为投影面垂直线。其中，垂直于水平投影面的直线称为铅垂线；垂直于正立投影面的直线称为正垂线；垂直于侧立投影面的直线称为侧垂线。

投影面垂直线的投影特性如下：

在直线所垂直的投影面上，直线的投影积聚为一点；直线的另两投影平行于相应的投影轴，且投影反映实长，如表2-1所示。

表2-1 投影面垂直线的投影

②投影面平行线：只平行于一个投影面（与另两个投影面倾斜）的直线，称为投影面平行线。其中，只平行于水平投影面，而与另两投影面倾斜的直线，称为水平线；只平行于正立投影面，而与另两投影面倾斜的直线，称为正平线；只平行于侧立投影面，而与另两投影面倾斜的直线，称为侧平线。

投影面平行线的投影特性如下：

在直线所平行的投影面上的投影，反映直线的实长；反映直线的实长的投影与投影轴所夹的角度，等于空间直线对相应投影面的倾角；直线的另两投影平行于相应的投影轴，且投影的长度小于实长，如表2-2所示。

表2-2 投影面平行线的投影

2.直线上的点

直线上的点有以下特性：

（1）点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。反之，如果点的各投影均在直线的同面投影上，且符合点的投影规律，则此点必在该直线上，如图2-19所示。

图2-19 从属于直线的点的投影

（2）直线上的点分割直线之比，在其投影上仍保持不变。如图2-19所示，点C在直线AB上，则AC：CB＝ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝a″c″∶c″b″。

例2：如图2-20（a）所示，已知侧平线MN的正面投影和水平面投影，以及从属于MN直线的S点的正面投影，求S点的水平投影。

分析：根据定比性可在直线的投影图中作出满足比值关系的点的投影。

作图步骤如下（如图2-20所示）：

①过N点水平投影n作一辅助线，在辅助线上截取m′n′、s′n′长，如图2-20（b）所示。

②在水平投影中，连接m′m，并过s′作m′m连线的平行线，使其交于mn上的s点，s点即为所求，如图2-20（c）所示。

图2-20 利用定比性求直线上点的投影

3.两直线的相对位置

两直线的相对位置有3种情况：平行、相交和交叉。其中，平行和相交属于共面直线。现将其投影特性分述如下：

（1）平行两直线：空间两直线互相平行，则它们的各组同面投影也一定互相平行。如图2-21所示，AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″。反之，如果两直线的各组同面投影都互相平行，则可判定它们在空间也一定互相平行。

图2-21 平行两直线

（2）相交两直线：空间相交的两直线，它们的同面投影也一定相交，交点为两直线的共有点，且符合点的投影规律。

如图2-22所示，直线AB和CD相交于点K，点K是直线AB和CD的共有点。根据点属于直线的投影特性，可知k既属于ab又属于cd，即k一定是ab和cd的交点。同理，k′必定是a′b′和c′d′的交点；k″也必定是a″b″和c″d″的交点。由于交点是同一点K的三面投影，因此k、k′的连线垂直于OX轴，k′和k″的连线垂直于OZ轴，即K的投影符合点的投影规律。